Esta sección se quiere explicar de manera breve el proceso de la demostración. En realidad podría extenderse bastante si realizáramos una profundización, pues, por ejemplo, existen diversos tipos de demostración. Para ejemplificar como funciona, de manera más práctica, evitaremos profundizar demasiado y concentrarnos en ir describiendo lo esencial.
En primer lugar debemos tener en cuenta que, en matemáticas, se pueden considerar como proposiciones a los argumentos de los que se puede decir si son verdaderos o falsos. Es decir, en matemáticas consideramos como proposiciones, en primer lugar, a las expresiones que se pueden calificar de verdaderas o falsas
Ejemplos de proposiciones:
1. Plutón es el planeta más grande del sistema solar.
2. 2 es mayor que 1.
3. México es la capital de Rusia.
Se puede observar que se puede decidir si son verdaderas o falsas cada una de estas expresiones, sin embargo en las expresiones:
1. La luna sentimental.
2. Qué color tienen mis pensamientos.
3. El amor.
Vemos que no hay manera de decidir si son verdaderas o falsas, no tiene sentido eso. En matemáticas justo tratamos con proposiciones de las que se puede afirmar su falcedad o veracidad. Las proposiciones, en matemáticas, son este tipo de premisas y se deben establecer o demostrar a partir de los axiomas o definiciones como ya indicamos existen varios tipos de proposiciones como los teoremas, sin más aquí tenemos nuestro primer teorema. Veamos.
Teorema. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. *Es la proposición que queremos demostrar
Demostración *Es el siguiente paso, debemos comprobar la veracidad o la falsedad de la proposición dada, es decir, del Teorema:
Primero pensamos y luego notamos que dos rectas que se cortan, en un único punto, forman cuatro ángulos como se muestra en la imagen,
luego, para hacer referencia a estos cuatro ángulos, podemos seleccionar puntos, distintos de A, en cada una de las rectas y nombrarlos, digamos como: B, C, D y E, en sentido cíclico anti-horario.
*Lo que hemos hecho, hasta aquí, en la demostración ha sido válido y en base a los axiomas y definiciones establecidas previamente, es decir no hemos inventado o introducido algo extraño o no definido previamente.
Tenemos varios aspectos a considerar, por ejemplo que \(\angle BAC\) y \(\angle CAD\) son adyacentes o que \(\angle DAE\) y \(\angle EAB\) son adyacentes. Aunque lo que nosotros tenemos que hacer es considerar cualesquiera ángulos que sean opuestos por el vértice pues es, relativo a este tipo de ángulos, lo que queremos demostrar. En este caso vemos que
\(\angle BAC\) y \(\angle DAE\)
son opuestos por el vértice (también lo podríamos haber hecho con \(\angle EAB\) y \(\angle CAD\)) y
\(\angle BAC +\angle CAD=180°\)
ya que son ángulos adyacentes y suplementarios *Es decir, vimos que este tipo de ángulos suma un ángulo llano, por eso lo podemos usar, porque ya lo definimos, de forma análoga se tiene que:
\(\angle CAD+\angle DAE=180°\)
ya que también son adyacentes y suplementarios, luego, de las dos igualdades anteriores obtenemos que:
\(\angle BAC+\angle CAD=\angle CAD+\angle DAE\)
de esta última ecuación podemos concluir que:
\(\angle BAC =\angle DAE\) (pues simplemente cancelamos \(\angle CAD\) a ambos lados de la ecuación).
De forma análoga se puede demostrar que \(\angle BAE = \angle CAD\). Así hemos comprobado que ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
\(\blacksquare\)
La demostración anterior se basa únicamente en los axiomas o definiciones que se determinaron previamente, no se utilizaron todos pero eso no infringe el razonamiento, lo que si lo haría sería que se utilizarán ideas o conceptos que nos e hayan determinado previamente, que se utilice lo que se desea demostrar o que se inventen argumentos por ejemplo.
Tarea voluntaria
1. Investiga cuántos tipos de proposiciones existen.
2. Un tipo de proposición es el que se determina como proposición abierta, un ejemplo es el siguiente:
_______________ es el autor de Los Tres Mosqueteros.
Si sobre esta línea excribimos Alejandro Dumas, obtendremos una proposición verdadera. Si sobre la línea escribimos un nombre diferente obtendremos una proposición falsa, luego antes de escribir un nombre, sobre la línea, es imposible calificar la expresión de falsa o verdadera. A expresiones éstas les llamamos proposiciones abiertas.
En cada inciso describe el conjunto que determina la proposición abierta
a) ______________ es un día de la semana que termina con s
b) _____________ son los números que satisfacen la desigualdad cuadrática \(x^{2}-2x+1>0\)
c) ______________ es el dominio de \(\frac{1}{\sqrt{x^{3}-1}}\)
3. Utilizando el hecho de que dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes (o iguales) demuestra que si dos rectas, que se intersecan, forman cuatro ángulos iguales entonces son ángulos rectos.
Enlaces
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