7.1. Criterios de semejanza, criterio AAA

 El concepto de semejanza queda bien determinado en la siguiente definición.

Definición. Dos triángulos se dirá que son semejantes si los tres ángulos del primero son respectivamente congruentes con los ángulos del segundo y además sus lados correspondientes son proporcionales.

Luego si \(\triangle ABC\) y \(\triangle DEF\) son semejantes lo denotaremos por:

\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)

Ya determinamos la manera en que podemos comprobar cuando dos triángulos son semejantes. Luego para comprobar, de manera formal, que dos triángulos son semejantes será necesario comprobar que se cumplen las dos condiciones que indica la definición de semejanza que dimos. Para esto también tendremos tres criterios de semejanza.

Primer criterio de semejanza

Criterio AAA. Si los tres ángulos internos de un triángulo son congruentes a los ángulos internos de otro triángulo entonces los triángulos considerados son semejantes.

Demostración:

Consideremos los triángulos ABC y DEF de tal manera que tienen sus ángulos internos correspondientes congruentes (es decir que miden lo mismo). 

Para comprobar que los triángulos son semejantes debemos demostrar que se cumplan las dos condiciones impuestas por la definición de dimos, en este caso ya tenemos por hipótesis que los triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes, así que sólo falta comprobar que tienen sus tres lados correspondientes proporcionales. Tenemos por hipótesis que:

\(\angle BAC=\angle EDF\), \(\angle ABC=\angle DEF\) y \(\angle ACB=\angle DEF\).

Entonces, para continuar con la demostración, la técnica a seguir es la siguiente:

-Sobre alguno de los vértices, del triángulo DEF, construimos un triángulo DGH congruente con el triángulo ABC.

-Demostraremos que \(\triangle DGH\) es semejante al triángulo DEF.

-Como el triángulo DGH resultará semejante con el triángulo EDF y como será congruente con el triángulo ABC entonces el triángulo ABC resultará semejante al triángulo DEF.

Tomando como base el vértice D del triángulo DEF trazamos una circunferencia de centro en D y radio AB, esto nos determina un punto G en \(\overline{DE}\). 

De manera análoga tracemos una circunferencia de centro en D y radio AC, esto nos determina un punto H sobre \(\overline{DF}\), luego tracemos \(\overline{GH}\). Concentrémonos en demostrar que el triángulo DGH es semejante al triángulo DEF.

Tenemos que DG=AB pues así construimos a DG, de manera análoga se tiene que DH=AC. Por otra parte, por hipótesis se tiene que:

\(\angle BAC=\angle EDF\) y \(\angle EDG=\angle GDH\) (porque así construimos el triángulo)

en consecuencia

\(\angle BAC=\angle GDH \),

de esto podemos concluir que el triángulo ABC y el triángulo DGH son congruentes pues tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo, que abren estos lados, congruente, así que aplicamos el criterio de congruencia LAL, de esta congruencia obtenemos que:

\(\angle DGH=\angle ABC\) y \(\angle DHG=\angle ACB\).

Teniendo en cuenta que por hipótesis \(\angle ABC=\angle DEF\) y \(\angle ACB=\angle DFE\),

 entonces:

\(\angle DGH=\angle DEF\) y \(\angle DHG=\angle DFE\).

Así hemos comprobado que el triángulo DGH, que construimos, y el triángulo original DEF tienen tres ángulos internos correspondientes congruentes. Una consecuencia de que \(\angle DGH=\angle DEF\) es que

\(\overline{GH}\parallel\overline{EF}\),

pues se está dando el caso en que hay dos ángulos correspondientes congruentes. De este paralelismo podemos concluir, aplicando la ida del Teorema de Thales, que:

\(\frac{DE}{DG}=\frac{DF}{DH}\).

Para demostrar la proporcionalidad que nos falta realizaremos un proceso similar pero ahora considerando el vértice E del triángulo DEF. 

El razonamiento similar se recomienda realizarlo como ejercicio. Des esto obtenemos que \(\overline{GH}\parallel\overline{DF}\) y entonces:

\(\frac{DE}{EG}=\frac{EF}{EH}\), pero DG=EG, GH=EH y GH=DH,

por lo que obtenemos que:

\(\frac{DE}{DG}=\frac{DF}{DH}=\frac{EF}{GH}\).

Esto nos da como resultado que:

\(\triangle DGH\sim \triangle DEF\) y como \(\triangle DGH\cong\triangle ABC\),

entonces

\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\).

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que dos alturas correspondientes de cualesquiera dos triángulos semejantes están en la misma proporción que los lados correspondientes.

2. Demuestra que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera, de triángulos semejantes, están en la misma razón que los lados correspondientes.

3. Demuestra que si \(\triangle ABC\sim \triangle DEF\) y \(\triangle DEF \cong \triangle GHI\) entonces \(\triangle ABC\sim\triangle GHI\).

4. Demuestra que la relación: ser semejante a es una relación de equivalencia entre triángulos.

5. Considera si es posible demostrar que la relación: ser semejante a es una relación de equivalencia entre las figuras geométricas y de ser así, demuéstralo.

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