7.3. Criterio de semejanza LAL

 Criterio de semejanza LAL. Si un ángulo interno de un triángulo es congruente al ángulo interno de otro triángulo y además los lados que determinan el primer ángulo son proporcionales, en la misma proporción, con los lados que determinan el segundo ángulo entonces los triángulos, considerados, son semejantes.

Demostración:

Consideremos los triángulos ABC y DEF que cumplen las hipótesis que se mencionan en el criterio, es decir que \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\) y \(\angle BAC=\angle DEF\). 

Entonces podemos construir el triángulo AE'F' utilizando la técnica que vimos cuando demostramos el criterio de semejanza AAA, para esto sólo tomamos en cuenta que \(\angle BAC=\angle DEF\). Así tenemos que E' y F' son puntos sobre \(\overline{AB}\) y \(\overline{AC]\), respectivamente, que cumplen

AE'=DE y AF'=DF.

Como por hipótesis tenemos que: \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\) entonces \(\frac{AB}{AE'}=\frac{AC}{AF'}\), por el regreso del Teorema de Thales tenemos que:

\(\overline{EF'}\parallel\overline{BC}\),

de esto podemos concluir que \(\angle ABC=\angle AE'F'\) y \(\angle ACB=\angle AF'E'\) entonces el triángulo ABC y el triángulo AE'F' tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes con lo que podemos asegurar que:

\(\triangle ABC\sim\triangle AE'F'\),

luego como \(\triangle AE'F'\cong \triangle DEF\), entonces todos sus ángulos internos correspondientes, en estos triángulos, son congruentes, por lo que entonces podemos concluir que:

\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que si ABC y DEF son dos triángulos tales que \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\), \(AB >AC\), \(DE >DF\) y \(\angle BCA=\angle EDF\) entonces son semejantes.

2. Utilizando LAL demuestra que si en un triángulo dos bisectrices internas tienen la misma longitud entonces, el triángulo considerado, es isósceles.

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