El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos en la matemática, se atribuye a Pitágoras de Samos, aunque esto no es de particular importancia, básicamente el teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
Pitágoras fundó una escuela de pensamiento, la Escuela Pitagórica, que combinaba aspectos de filosofía, religión y matemáticas. Es posible también tener en consideración que el teorema fuera conocido por matemáticos babilonios e indios mucho antes de Pitágoras, aunque él y sus seguidores fueron los primeros en proporcionar una demostración rigurosa del teorema. Aunque hay que considerar que incluso se conocía en China y también por aquellos rumbos se dio alguna demostración, el tratado donde se habla, más de esto, se conoce como Chou Pei Suang Chin.
El Teorema de Pitágoras ha tenido un impacto profundo en el desarrollo de la matemática y la ciencia. No sólo es fundamental en la geometría euclidiana, sino que también tiene aplicaciones en la física, ingeniería y otras disciplinas. La simplicidad de este teorema ha llamado la atención de matemáticos durante siglos y continua siendo una parte importante del currículo matemático actual.
Queremos demostrar, en esta sección, el Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras. Si ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en A entonces la suma de los cuadrados de las medidas de dos de sus catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.
Demostración:
\(\triangle ABC\sim\triangle ABC\). De estas semejanzas obtenemos que:
\(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}=\frac{AD}{AC}\)...(1) y
\(\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\)...(2).
De donde obtenemos en particular que:
\(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}\) de (1) y \(\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\) de (2).
Lo cual equivale a:
\(AB^{2}=BD\cdot BC\) y \(AC^{2}=DC\cdot BC\),
de donde
\(AB^{2}+AC^{2}=BD\cdot BC+DC\cdot BC=BC(BD+DC)=BC\cdot BC=BC^{2}\).
Por lo tanto:
\(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\).
\(\blacksquare\)
Tarea voluntaria
1. Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es \(\sqrt{2}\) veces el largo de un cateto si y sólo si es isósceles.
2. Demuestra que si la base de un triángulo isósceles es \(\sqrt{2}\) veces el largo de la medida de los lados congruentes, entonces el ángulo opuesto a la base es recto.
3. Demuestra que si \(\overline{AB}\), \(\overline{CD}\), \(\overline{EF}\), \(\overline{GH}\) y \(\overline{IJ}\) son cinco segmentos tales que con cualesquiera tres de ellos es posible construir un triángulo, entonces al menos uno de los triángulos, que se formarían, sería acutángulo.
4. Investiga sobre las demostraciones visuales que existen del Teorema de Pitágoras.
5. ¿Es cierto el recíproco del Teorema de Pitágoras? Si en un triángulo el cuadrado, de la medida, de un lado es igual a la suma de la medida de los cuadrados de los otros lados entonces el triángulo es rectángulo. Demuestra o da contraejemplo.
6*. Demuestra que si sobre los catetos y la hipotenusa, de un triángulo rectángulo, construimos triángulos equiláteros, correspondientes a las respectivas medidas de los catetos y la hipotenusa, entonces la suma de las áreas de los triángulos de los catetos es igual al área del triángulo de la hipotenusa.
7**. Demuestra que si sobre los catetos y la hipotenusa, de un triángulo rectángulo, construimos pentágonos regulares, correspondientes a las respectivas medidas de los catetos y la hipotenusa, entonces la suma de las áreas de los pentágonos de los catetos es igual al área del pentágono de la hipotenusa.
8***. ¿Puedes demostrar que si sobre los catetos y la hipotenusa, de un triángulo rectángulo, construimos polígonos regulares, correspondientes a las respectivas medidas de los catetos y la hipotenusa, entonces la suma de las áreas de los polígonos de los catetos es igual al área del polígono de la hipotenusa?
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