En lo que hemos visto, sobre la longitud, podemos comprender que la idea inicial surge al considerar segmentos y compararlos respecto de una unidad determinada. Luego, con ésta idea viene, también, la de congruencia.
Propiedades
1. La longitud de un segmento es un número.
2. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.
3. Si un segmento está contenido en otro entonces su longitud es menor o igual a la del segmento en el que se encuentra contenido.
Continuando, en la misma línea de razonamiento, podemos decir que si tenemos a \(\overline{AB}\) y \(\overline{CD}\) congruentes, entonces lo denotaremos como:
\(\overline{AB}\cong\overline{CD}\).
De acuerdo a la propiedad 2 tenemos que:
\(\overline{AB}\cong\overline{CD}\Leftrightarrow AB=CD\)
Por otra parte describiremos un concepto importante, para ello necesitamos comprender ideas sobre ciertas regiones que determina un segmento.
Si consideramos un segmento cuyos extremos son A y B entonces tenemos tres regiones que quedan bien definidas. En la siguiente imagen queda plasmada esta idea.
4. Si C es un punto interior de \(\overline{AB}\) como se muestra en la imagen
entonces AC+CB=AB, es decir que la longitud de \(\overline{AC}\) más la longitud de \(\overline{CB}\) es igual a la longitud de \(\overline{AB}\).
Congruencia entre ángulos
La idea de que dos segmentos son iguales quedó descrita de manera más detallada cuando enunciamos la idea de segmentos congruentes. Está idea quedó bien determinada con las propiedades de la longitud. De manera análoga podemos hablar de ángulos congruentes. Una forma intuitiva, de considerar esta idea, es pensar en dos ángulos dibujados en hojas de papel separadas de tal manera que cuando calcamos uno de ellos sobre el otro coincidan a la perfección.
Para medir ángulos podemos describir un método similar al que se utilizó para medir segmentos.
Cuando tenemos dos o más ángulos podemos fijar alguno como nuestra unidad de medida.
Ejemplo. Consideremos \(\angle ABC\) y fijamos \(\angle DEF\) como nuestra unidad de medida. Trazamos los rayos \(\overrightarrow{BA_{1}}\), \(\overrightarrow{BA_{2}}\), \(\overrightarrow{BA_{3}}\), ..., de manera que los ángulos
\(\angle ABA_{1}\), \(\angle A_{1}BA_{2}\), \(\angle A_{2}BA_{1}\), ...,
sean congruentes con \(\angle DEF\)
De esta manera para determinar la medida de un ángulo dado, contamos sólo el número de ángulos congruentes, con la unidad definida, que estén dentro de la región del ángulo que estemos midiendo.
\(\blacktriangle\)
Cabe hace hincapié en que podemos considerar dos regiones determinada por los lados que conforman el ángulo, comúnmente se suele trabajar con la región que mida menos. Una forma muy útil, de pensar a un ángulo es como una semi-recta que gira en torno a su origen y pensar que describe una abertura tal como vemos en la figura de abajo.
Entonces para medir ángulos, la unidad natural es el ángulo de una vuelta, al que le asignamos la medida de 360° (trecientos sesenta grados). Éste ángulo, de una vuelta, se divide en 360 partes iguales, cada una de estas partes viene a ser el ángulo de 1° (un grado). Luego, tomando en cuenta estos elementos, podemos considerar la siguiente definición.
Definición. El ángulo de un grado, denotado como 1°, es la 360-ava parte de una vuelta.
De acuerdo a esta definición tenemos que la mitad del ángulo de una vuelta, es decir el ángulo llano es de 180°, la mitad del ángulo llano, el ángulo recto, es de 90°, luego una vuelta es igual a dos ángulos llanos o cuatro ángulos rectos. En la práctica común se suelen utilizar ángulos menores que el de una vuelta y la clasificación que tenemos, de ángulos, de acuerdo a la definición que dimos, es la siguiente:
- Un ángulo mayor que un ángulo llano se llama ángulo cóncavo.
- Un ángulo menor que un ángulo llano se llama ángulo convexo.
- Un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano se llama ángulo obtuso.
- Un ángulo menor que un ángulo recto se llama ángulo agudo.
Definición. Si dos ángulos adyacentes suman un ángulo llano les llamaremoa ángulos suplementarios.
Definición. Dos ángulos se dirá que son congruentes si miden lo mismo.
En este caso lo denotaremos con el símbolo \(\cong\) (como lo hicimos para segmentos). Si \(\angle ABC\cong\angle DEF\) entonces \(\angle ABC\)=\(\angle DEF\) en relación a su medida en grados o en alguna otra unidad que hayamos determinado.
Cabe mencionar que, en este caso, la unidad de medida que utilizamos para medir los ángulos son los grados, aunque en algunos casos también se utilizan los radianes.
Siguiendo, la misma línea de ideas, tenemos la siguiente definición.
Definición. La bisectriz de un ángulo es una recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos congruentes.
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