Podemos distribuir las principales fórmulas o identidades trigonométricas en cinco grupos:
Fórmulas de adición de ángulos.
1. \(\sin (a_{1}+a_{2})=\sin a_{1}\cos a_{2}+\cos a_{1}\sin a_{2}\).
2. \(\cos (a_{1}+a_{2})=\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}\).
3. \(\tan (a_{1}+a_{2})=\frac{\tan a_{1}+\tan a_{2}}{1-\tan a\tan b}\).
4. \(\cot (a_{1}+a_{2})=\frac{\cot a_{1}\cot a_{2}-1}{\cot a_{1}+\cot a_{2}}\).
Las fórmulas de la tangente y cotangente que están al final de la lista se pueden deducir mediante procesos algebraicos relativamente sencillos, veamos:
\(\tan(a_{1}+a_{2})=\frac{\sin (a_{1}+a_{2})}{\cos(a_{1}+a_{2})}=\frac{\sin a_{1}\cos a_{2}+\cos a_{1}\sin a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}}\).
Podemos dividir todos los términos en la última fracción entre el producto de los cosenos, para obtener:
\(\tan (a_{1}+a_{2})=\frac{\frac{\sin a_{1}\cos a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}+\frac{\cos a_{1}\sin a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}}{\frac{\cos a_{1}\cos a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}-\frac{\sin a_{1}\sin a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}}\).
Al simplificar obtenemos que:
\(\tan (a_{1}+a_{2})=\frac{\tan a_{1}+\tan a_{2}}{1-\tan a_{1}\tan a_{2}}\).
De manera similar, obtenemos que:
\(\cot (a_{1}+a_{2})=\frac{\cot (a_{1}+a_{2})}{\sin(a_{1}+\sin a_{2})}=\frac{\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}}{\sin a_{1}\cos a_{2}+\cos a_{1}\sin a_{2}}\).
Dividiendo todos los términos del último miembro entre el producto de los senos y simplificando, obtenemos que:
\(\cot (a_{1}+a_{2})=\frac{\cot a_{1}\cot a_{2}-1}{\cot a_{2}+\cot a_{1}}\).
Fórmulas de la substracción de ángulos.
En las cuatro fórmulas que acabamos de ver para la adición de ángulos, podemos sustituir \(a_{2}\) por -\(a_{2}\), con lo cual el coseno de \(a_{2}\) conserva su signo, mientras que el seno, la tangente y la cotangente cambian de signo, para obtener:
1. \(\sin(a_{1}-a_{2})=\sin a_{1}\cos a_{2}-\cos a_{1}\sin a_{2}\).
2. \(\cos(a_{1}-a_{2})=\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}\).
3. \(\tan(a_{1}-a_{2})=\frac{\tan a_{1}-\tan a_{2}}{1+\tan a_{1}\tan a_{2}}\).
4. \(\cot(a_{1}-a_{2})=\frac{-\cot a_{1}\cot a_{2}-1}{\cot a_{1}-\cot a_{2}}\).
Fórmulas para el doble del ángulo.
En las fórmulas que obtuvimos para la suma podemos substituir \(a_{1}=a_{2}\) para obtener:
1. \(\sin(a_{1}+a_{1}=\sin a_{1}\cos a_{1}+\cos a_{1}\sin a_{1}=2\sin a_{1}\cos a_{1}\).
2. \(cos(a_{1}+a_{1})=\frac{\tan a_{1}+\tan a_{1}}{1-\tan a_{1}tan a_{1}}=\frac{2\tan a_{1}}{1-\tan ^{2}a_{1}}\).
3. \(\cot (a_{1}+a_{1})=\frac{\cos^{2}a_{1}-1}{2\cot a_{1}}\).
Fórmulas para la mitad del ángulo.
Si consideramos la fórmula \(\cos(a_{1}-a_{2})=\cos a_{1}\cos a_{2}+\sin a_{1}\sin a_{2}\) con \(a_{1}=a_{2}\), obtenemos que:
\(\cos(a_{1}-a_{1})=\cos a_{1}\cos a_{1}+\sin a_{1}\sin a_{1}\),
de donde obtenemos que:
\(\cos 0=\cos^{2}a_{1}+\sin^{2}a_{1}\) y como \(\cos 0=1\), entonces:
\(1=\cos^{2}a_{1}+\sin^{2}a_{1}\)...(1).
Por otra parte sabemos que:
\(\cos 2a_{1}=\cos^{2}a_{1}-\sin^{2}a_{1}\)...(2).
Si sumamos, miembro a miembro, (1) y (2), obtenemos que:
\(1+\cos 2a_{1}=2\cos^{2}a_{1}\), es decir que:
\(\cos^{2}a_{1}=\frac{1+\cos 2a_{1}}{2}\)...(3).
Luego restando, miembro a miembro, (1) y (2), obtenemos que:
\(1-\cos 2a_{1}=2\sin^{2}a_{1}\), es decir que:
\(\sin^{2}a_{1}=\frac{1-\cos 2a_{1}}{2}\)...(4).
Si en las ecuaciones (3) y (4) substituimos \(a_{1}\) por \(\frac{a_{1}}{2}\) y extraemos la raíz cuadrada a los dos miembros, para que (4) y (3) se reescriban como:
1. \(\sin\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a_{1}}{2}}\)...(4),
2. \(\cos\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a_{1}}{2}}\)...(3).
Si ahora dividimos (4) y (3) miembro a miembro, obtenemos que:
3. \(\tan\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a_{1}}{1+\cos a_{1}}}\)...(5).
4. \(\cot\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a_{1}}{1-\cos a_{1}}}\)...(6).
Si en la ecuación (5) multiplicamos el dividendo y el divisor, debajo del radical, por el propio dividendo, obtenemos que:
\(\tan \frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{(1-\cos a_{1})^{2}}{1-\cos^{2}a_{1}}}=\sqrt{\frac{(1-\cos a_{1})^{2}}{\sin^{2}a_{1}}}=+/-\frac{1-\cos a_{1}}{\sin a_{1}}=+/-(\frac{1}{\sin a_{1}}-\frac{\cos a_{1}}{\sin a_{1}})=+/-(\csc a_{1}-\cot a_{1})\). Es decir que:
\(\tan \frac{a_{1}}{2}=+/-(\csc a_{1}-\cot a_{1}\))...(7).
De manera análoga si en el ecuación (6) multiplicamos el dividendo y el divisor, debajo del radical, por el dividendo, resulta que:
\(\cot\frac{a_{1}}{2}=+/-(\csc a_{1}\cot a_{1})\)...(8).
Fórmulas para la diferencia de senos y cosenos.
Sólo se mencionaran con la finalidad de que sirvan de ejercicio al lector.
1. \(\sin a_{1}+\sin a_{2}=2\sin\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\cos\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2}\)).
2. \(\sin a_{1}-\sin a_{2}=2\cos\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\sin\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2})\).
3. \(\cos a_{1}+\cos a_{2}=2\cos\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\cos\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2})\).
4. \(\cos a_{1}-\cos a_{2}=-2\sin\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\sin\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2})\).
Tarea voluntaria
1. Utiliza las fórmulas de adición para calcular todas las funciones trigonométricas de 75°, conociendo las de 30° y 45°.
2. Las fórmulas de substracción se obtienen fácilmente de las de adición, con sólo cambiar el segundo sumando por su simétrico. Usarlas para calcular las funciones de 15°, conociendo las de 45° y 30°.
3. Obtener las fórmulas para el ángulo doble de un ángulo dado. Usarlas para calcular las funciones de 60°, conociendo las de 30°.
4. De la identidad \(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1\) obtener \(1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\).
5. Usar las fórmulas de adición, poniendo \(\alpha =2x\), \(\beta=x\), para obtener nuevas identidades:
a) \(\sin 3x\).
b) \(\cos 3x\).
c) \(\tan 3x\).
d) \(\cot 3x\).
6. Deduce \(\sin^{4}\alpha\) y \(\cos^{4}\alpha\).
Enlaces
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