9.4. Algunos aspectos básicos sobre aplicaciones de la trigonometría

 La trigonometría, una rama fundamental de las matemáticas, ha sido una herramienta esencial para los humanos desde tiempos inmemoriales. Su origen se remonta a las antiguas civilizaciones de Babilonia y Egipto, donde se aplicaba para resolver problemas relacionados con la astronomía y la medición de tierras. Los babilonios, con su conocimiento avanzado de la geometría, utilizaban métodos rudimentarios que hoy reconoceríamos como trigonométricos, para predecir los movimientos de los cuerpos celestes.

En Egipto los agrimensores empleaban técnicas que involucraban el cálculo de ángulos y distancias para la construcción de las pirámides y la reconfiguración de los límites de los campos agrícolas después de las inundaciones anuales del Nilo. Estos métodos sentaron las bases para el desarrollo posterior de la trigonometría.

La verdadera formalización de la trigonometría ocurrió en la antigua Grecia con matemáticos como Hiparco, quien es considerado el padre de la trigonometría. Hiparco compiló la primera tabla de cuerdas, una herramienta esencial para resolver triángulos en un círculo, que permitió a los astrónomos calcular la distancia entre las estrellas y los planetas. Ptolomeo, siglos después, expandió el trabajo de Hiparco en su famoso tratado Almagesto, que dominó la astronomía durante más de mil años.

El conocimiento trigonométrico también floreció en la India, donde los matemáticos cono Arybhara y Bhaskara desarrollaron las funciones trigonométricas modernas como el seno y el coseno, que luego fueron transmitidas al mundo islámico. Los eruditos islámicos, como Al-Battani y Al-Khwarizmi, hicieron importantes avances en la trigonometría, produciendo tablas más precisas y desarrollando métodos para resolver triángulos esféricos, esenciales para la navegación y la astronomía.

La trigonometría llego a Europa durante el Renacimiento, a través de los textos traducidos del árabe y el griego. Durante este período, matemáticos como Johannes Müller, conocido como Regiomontanus y más tarde Isaac Newton y Leonhard Euler, refinaron y expandieron la teoría trigonométrica, sentando las bases para muchas aplicaciones modernas.

Hoy en día, la trigonometría se utiliza en una amplia variedad de campos, desde la ingeniería y la física hasta la informática y la medicina. Su capacidad para modelar y resolver problemas relacionados con ángulos y distancias la convierte en una herramienta indispensable en la ciencia y la tecnología.

Resolución de triángulos rectángulos

Debemos tener en consideración que cualquier triángulo rectángulo además de tener un ángulo recto también tiene dos ángulos agudos, de los que al sumar sus medidas obtenemos lo que mide un ángulo recto. Los elementos que conforman al triángulo rectángulo son también sus lados. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (como ya vimos) y los otros dos lados se llaman catetos. El problema básico a considerar es: Calcular las medidas de todos sus lados (o todos sus ángulos) sólo conociendo dos de éstos. Aparte de saber cuál es el ángulo recta. Teniendo el Teorema de Pitágoras, las propiedades de los triángulos y las definiciones de las funciones trigonométricas de los ángulos, son medios suficientes para resolver un triángulo rectángulo, cuando tenemos dos daos, entre los cuales debe haber por lo menos un lado. 

Ejemplo. Considera la siguiente figura 

En este caso tenemos que:

1. \(\angle A+\angle C=90°\).

2. \(a^{2}+c^{2}=b^{2}\).

3. \(\sin A=\frac{a}{b}=\cos C\).

4. \(\cos A=\frac{c}{b}=\sin C\).

5. \(\tan A=\frac{a}{c}=\cot C\).

6. \(\cot A=\frac{c}{a}=\tan C\).

Del álgebra elemental sabemos que \(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\), teniendo en consideración esto y 2. Obtenemos dos fórmulas más:

7. \(a^{2}=(b+c)(b-c)\).

8. \(c^{2}=(b+a)(b-a)\).

\(\blacktriangle\)

Tarea voluntaria

1. Encuentra la altura de un poste vertical cuya sombra mide 16.09 metros, cuando la altura del sol sobre le horizonte es de 47°40'.

2. ¿Cuál es la altura del son sobre el horizonte, cuando un poste vertical de 24.6 metros de altura proyecta una sombre horizontal de 32.4 metros?

3. Una escalera de 7.24 metros de largo, apoyada en un muro vertical, alcanza una altura de 6 metros. Si el piso es horizontal, ¿cuánto dista del muro el pie de la escalera?

4. Desde su puesto de observación, a 120° metros sobre el nivel del mar, un vigía mide el ángulo de depresión igual a 12°20' de una boya cercana. ¿Cuánto dista (horizontalmente) la boya?

5. Dos postes verticales, separados por una distancia de 12 metros, se elevan respectivamente a 18.2 y 20.8 metros sobre un plano horizontal. Un cable tenso conecta los extremos superiores de ambos postes. ¿Qué longitud tiene el cable y cuánto mide el ángulo que forma con la vertical?

6. Investiga más aplicaciones de la trigonometría.

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Llevame a la primer entrada \(\Rightarrow\) 1. Introducción

9.3. Formulario trigonométrico

 Podemos distribuir las principales fórmulas o identidades trigonométricas en cinco grupos:

Fórmulas de adición de ángulos.

1. \(\sin (a_{1}+a_{2})=\sin a_{1}\cos a_{2}+\cos a_{1}\sin a_{2}\).

2. \(\cos (a_{1}+a_{2})=\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}\).

3. \(\tan (a_{1}+a_{2})=\frac{\tan a_{1}+\tan a_{2}}{1-\tan a\tan b}\).

4. \(\cot (a_{1}+a_{2})=\frac{\cot a_{1}\cot a_{2}-1}{\cot a_{1}+\cot a_{2}}\).

Las fórmulas de la tangente y cotangente que están al final de la lista se pueden deducir mediante procesos algebraicos relativamente sencillos, veamos: 

\(\tan(a_{1}+a_{2})=\frac{\sin (a_{1}+a_{2})}{\cos(a_{1}+a_{2})}=\frac{\sin a_{1}\cos a_{2}+\cos a_{1}\sin a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}}\).

Podemos dividir todos los términos en la última fracción entre el producto de los cosenos, para obtener:

\(\tan (a_{1}+a_{2})=\frac{\frac{\sin a_{1}\cos a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}+\frac{\cos a_{1}\sin a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}}{\frac{\cos a_{1}\cos a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}-\frac{\sin a_{1}\sin  a_{2}}{\cos a_{1}\cos a_{2}}}\).

Al simplificar obtenemos que:

\(\tan (a_{1}+a_{2})=\frac{\tan a_{1}+\tan a_{2}}{1-\tan a_{1}\tan a_{2}}\).

De manera similar, obtenemos que:

\(\cot (a_{1}+a_{2})=\frac{\cot (a_{1}+a_{2})}{\sin(a_{1}+\sin a_{2})}=\frac{\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}}{\sin a_{1}\cos a_{2}+\cos a_{1}\sin a_{2}}\).

Dividiendo todos los términos del último miembro entre el producto de los senos y simplificando, obtenemos que:

\(\cot (a_{1}+a_{2})=\frac{\cot a_{1}\cot a_{2}-1}{\cot a_{2}+\cot a_{1}}\).

Fórmulas de la substracción de ángulos.

En las cuatro fórmulas que acabamos de ver para la adición de ángulos, podemos sustituir \(a_{2}\) por -\(a_{2}\), con lo cual el coseno de \(a_{2}\) conserva su signo, mientras que el seno, la tangente y la cotangente cambian de signo, para obtener:

1. \(\sin(a_{1}-a_{2})=\sin a_{1}\cos a_{2}-\cos a_{1}\sin a_{2}\).

2. \(\cos(a_{1}-a_{2})=\cos a_{1}\cos a_{2}-\sin a_{1}\sin a_{2}\).

3. \(\tan(a_{1}-a_{2})=\frac{\tan a_{1}-\tan a_{2}}{1+\tan a_{1}\tan a_{2}}\).

4. \(\cot(a_{1}-a_{2})=\frac{-\cot a_{1}\cot a_{2}-1}{\cot a_{1}-\cot a_{2}}\).

Fórmulas para el doble del ángulo.

En las fórmulas que obtuvimos para la suma podemos substituir \(a_{1}=a_{2}\) para obtener:

1. \(\sin(a_{1}+a_{1}=\sin a_{1}\cos a_{1}+\cos a_{1}\sin a_{1}=2\sin a_{1}\cos a_{1}\).

2. \(cos(a_{1}+a_{1})=\frac{\tan a_{1}+\tan a_{1}}{1-\tan a_{1}tan a_{1}}=\frac{2\tan a_{1}}{1-\tan ^{2}a_{1}}\).

3. \(\cot (a_{1}+a_{1})=\frac{\cos^{2}a_{1}-1}{2\cot a_{1}}\).

Fórmulas para la mitad del ángulo.

Si consideramos la fórmula \(\cos(a_{1}-a_{2})=\cos a_{1}\cos a_{2}+\sin a_{1}\sin a_{2}\) con \(a_{1}=a_{2}\), obtenemos que:

\(\cos(a_{1}-a_{1})=\cos a_{1}\cos a_{1}+\sin a_{1}\sin a_{1}\),

de donde obtenemos que:

\(\cos 0=\cos^{2}a_{1}+\sin^{2}a_{1}\) y como \(\cos 0=1\), entonces:

\(1=\cos^{2}a_{1}+\sin^{2}a_{1}\)...(1).

Por otra parte sabemos que:

\(\cos 2a_{1}=\cos^{2}a_{1}-\sin^{2}a_{1}\)...(2).

Si sumamos, miembro a miembro, (1) y (2), obtenemos que:

\(1+\cos 2a_{1}=2\cos^{2}a_{1}\), es decir que:

\(\cos^{2}a_{1}=\frac{1+\cos 2a_{1}}{2}\)...(3).

Luego restando, miembro a miembro, (1) y (2), obtenemos que:

\(1-\cos 2a_{1}=2\sin^{2}a_{1}\), es decir que:

\(\sin^{2}a_{1}=\frac{1-\cos 2a_{1}}{2}\)...(4).

Si en las ecuaciones (3) y (4) substituimos \(a_{1}\) por \(\frac{a_{1}}{2}\) y extraemos la raíz cuadrada a los dos miembros, para que (4) y (3) se reescriban como:

1. \(\sin\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a_{1}}{2}}\)...(4),

2. \(\cos\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a_{1}}{2}}\)...(3).

Si ahora dividimos (4) y (3) miembro a miembro, obtenemos que:

3. \(\tan\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a_{1}}{1+\cos a_{1}}}\)...(5).

4. \(\cot\frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a_{1}}{1-\cos a_{1}}}\)...(6).

Si en la ecuación (5) multiplicamos el dividendo y el divisor, debajo del radical, por el propio dividendo, obtenemos que:

\(\tan \frac{a_{1}}{2}=\sqrt{\frac{(1-\cos a_{1})^{2}}{1-\cos^{2}a_{1}}}=\sqrt{\frac{(1-\cos a_{1})^{2}}{\sin^{2}a_{1}}}=+/-\frac{1-\cos a_{1}}{\sin a_{1}}=+/-(\frac{1}{\sin a_{1}}-\frac{\cos a_{1}}{\sin a_{1}})=+/-(\csc a_{1}-\cot a_{1})\). Es decir que:

\(\tan \frac{a_{1}}{2}=+/-(\csc a_{1}-\cot a_{1}\))...(7).

De manera análoga si en el ecuación (6) multiplicamos el dividendo y el divisor, debajo del radical, por el dividendo, resulta que:

\(\cot\frac{a_{1}}{2}=+/-(\csc a_{1}\cot a_{1})\)...(8).

Fórmulas para la diferencia de senos y cosenos.

Sólo se mencionaran con la finalidad de que sirvan de ejercicio al lector.

1. \(\sin a_{1}+\sin a_{2}=2\sin\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\cos\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2}\)).

2. \(\sin a_{1}-\sin a_{2}=2\cos\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\sin\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2})\).

3. \(\cos a_{1}+\cos a_{2}=2\cos\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\cos\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2})\).

4. \(\cos a_{1}-\cos a_{2}=-2\sin\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})\sin\frac{1}{2}(a_{1}-a_{2})\).

Tarea voluntaria

1. Utiliza las fórmulas de adición para calcular todas las funciones trigonométricas de 75°, conociendo las de 30° y 45°.

2. Las fórmulas de substracción se obtienen fácilmente de las de adición, con sólo cambiar el segundo sumando por su simétrico. Usarlas para calcular las funciones de 15°, conociendo las de 45° y 30°.

3. Obtener las fórmulas para el ángulo doble de un ángulo dado. Usarlas para calcular las funciones de 60°, conociendo las de 30°.

4. De la identidad \(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1\) obtener \(1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\).

5. Usar las fórmulas de adición, poniendo \(\alpha =2x\), \(\beta=x\), para obtener nuevas identidades:

a) \(\sin 3x\).

b) \(\cos 3x\).

c) \(\tan 3x\).

d) \(\cot 3x\).

6. Deduce \(\sin^{4}\alpha\) y \(\cos^{4}\alpha\).

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9.2. Funciones trigonométricas de ángulos simétricos

 Este tipo de ángulos tienen senos simétricos y cosenos idénticos. Tengamos en cuenta la siguiente figura. 

Si consideramos los ángulos u y -u vemos que la abscisa x=OM es positiva e igual para ambos ángulos, sin embargo la ordenada y=MP es distinta en cuanto a signo ya que -y=-P'M, por otra parte la distancia r es igual a OP e igual a OP'. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas tenemos que:

\(\bullet -\sin(u)=-\frac{PM}{OP}=-\frac{y}{r}=-\frac{-y}{r}=\sin(-u)\)

\(\bullet \cos(u)=\frac{OM}{OP}=\frac{x}{r}=-\cos(-u)\)

\(\bullet -\tan(u)=-\frac{PM}{OM}=-\frac{y}{x}=\frac{-y}{x}=\frac{P'M}{OM}=\tan(-u)\)

\(\bullet -\cot(u)=-\frac{OM}{PM}=-\frac{x}{y}=\frac{x}{-y}=\cot(-u)\)

\(\bullet \sec(u)=\frac{OP}{OM}=\frac{r}{x}=\frac{OP'}{OM}=\sec(-u)\)

\(\bullet-\csc(u)=-\frac{OP}{PM}=-\frac{r}{y}=\frac{r}{-y}=\frac{}{}=\csc(-u)\)

Medida circular

Hasta este punto del texto hemos medido los ángulos mediante grados y en sentido antihorario, sin embargo existen otras medidas para determinar ángulos y aunque también se pueden medir en el sentido horario seguiremos realizando las mediciones de los ángulos en el sentido anti-horario.

También es muy utilizada la medida circular o en radianes de los ángulos. Al ángulo de 180° se le asigna el número \(\pi\) que es un número irracional cuyo valor aproximado es:

3.1416

sin embargo se pueden dar más decimales, la fila es infinita.

\(\pi\approx\)3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...

Vemos una aproximación de \(\pi\) hasta de cien decimales y los tres puntos suspensivos al final indican que la fila es infinita, sin dejar de lado que es no periódica.

Como ya mencionamos al ángulo de 180° (es decir al ángulo llano) se le asigna la medida de \(\pi\) por lo que al ángulo de 360° (una vuelta completa) se le asigna la medida de \(2\pi\), que en términos precisos es el cociente de la longitud de la circunferencia entre la longitud del radio, 

Por otra parte el vértice de algún triángulo puede superponerse en el centro de una circunferencia y con este proceso se puede obtener la medida circular del ángulo considerado, realizando el cociente (la división) de la longitud del arco que comprenden sus lados entre la longitud del radio de ese arco. 

Algo que se puede utilizar para tener una idea más práctica es hacer una table de equivalencia entre grados y medida circular (aunque mediante una regla de tres es posible obtener también cualquier equivalencia que se necesite). 

\(Grados-1°-30°-45°-60°-90°-180°-360°\)

\(Radianes-\frac{\pi}{180}-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}-\pi-2\pi\)

De acuerdo a lo que tenemos en esta tabla.

Tarea voluntaria

1. Demuestra que:

a) \(\sin -\alpha=-\sin\alpha\). 

b) \(\cos -\alpha=\cos \alpha\). 

c) \(\tan -\alpha =-\tan\alpha\).

2. Demuestra que:

 \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\).

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9.1. Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

 Casi siempre al inicio en el estudio de la trigonometría nos queda la idea de que las funciones trigonométricas sólo se estudian sobre ángulos agudos necesariamente, sin embargo se puede y se debe realizar el estudio en cualquier tipo de ángulos, no necesariamente agudos. Para definir las funciones de cualquier ángulo usamos los ejes coordenados. 

Este par de ejes perpendiculares, Y'Y y X'X, se cortan en el punto O, que es el origen del sistema. Tenemos que arriba del eje X'X las distancias se consideran positivas y hacía abajo se consideran negativas. Las distancias a la derecha del eje Y'Y son positivas y negativas a la izquierda, entonces el punto P tiene su ordenada (o coordenada en Y) positiva y abscisa (o coordenada en x) también positiva. Pero el punto Q tiene su abscisa negativa y su ordenada negativa.

Si consideramos un rayo (o semirrecta) que parte del origen, este forma un ángulo a con el semi-eje positivo OX como se muestra en la imagen. 

En este caso el ángulo a es obtuso. También podemos considerar un ángulo agudo como se muestra en la imagen de abajo. 

En ambos casos se toma un punto P sobre la semi-recta OZ y se consideran la abscisa y la ordenada de P, al igual que su distancia al origen r, esta distancia siempre se considera positiva. Entonces definimos:

\(\bullet \sin a=\frac{y}{r}=\frac{ordenada-de-P}{distancia-de-P-al-origen}\cdot \csc a=\frac{r}{y}=\frac{1}{\sin a}\)

\(\bullet \cos a=\frac{x}{r}=\frac{distancia-de-P}{distancia-de-P-al-origen}\cdot \sec a=\frac{r}{x}=\frac{1}{\cos a}\)

\(\bullet \tan a=\frac{y}{x}=\frac{ordenada-de-P}{abscisa-de-P}\cdot \cot a=\frac{x}{y}=\frac{1}{\tan a}\).

Nos damos cuenta que basta con conocer el seno y el coseno de un ángulo para conocer las funciones restanes. También son válidas las tres relaciones ya establecidas para ángulos agudos, que valen también para cualquier ángulo, no necesariamente agudo:

\(\bullet \sin^{2} a+\cos^{2} a=1\)

\(\bullet \sec^{2} a=1+\tan^{2} a\)

\(\bullet \csc^{2} a=1+\cot^{2} a\)

Los signos de las funciones de los ángulos en los cuatro cuadrantes se pueden ver en la tabla siguiente: 

\(\blacktriangle\)

Los siguientes ejemplos nos servirán de ayuda para comprender cómo calcular las funciones trigonométricas sin importar el tipo de ángulo de que se trate.

Ejemplo 2. Calculemos las funciones trigonométricas respecto del ángulo de 0°.

Solución: 

En este caso la semirrecta OZ coincide con el semi-eje positivo OX para que tengamos el ángulo de 0°. El punto P tiene ordenada nula y=0 y x=r, entonces:

\(\bullet \sin 0°=\frac{0}{r}=0\)

\(\bullet\cos 0°=\frac{r}{r}=1\)

\(\bullet \tan 0°=\frac{\sin 0°}{\cos 0°}=\frac{0}{1}=0\)

\(\bullet\cot 0°=\frac{1}{0}\) no está definida en este caso

\(\bullet\sec 0°=\frac{1}{\cos 0°}=\frac{1}{1}=1\)

\(\bullet \csc 0°=\frac{1}{\sin 0°}=\frac{1}{0}\) no está definida en este caso.

\(\blacktriangle\)

Ejemplo 3. Calculamos las funciones trigonométricas respecto del ángulo de 90°.

Solución:

\(\bullet \sin 90°=\frac{y}{r}=\frac{r}{r}=1\)

\(\bullet\cos 90°=\frac{x}{r}=\frac{0}{r}=0\)

\(\bullet \tan 90°=\frac{y}{x}=\frac{r}{0}\) (no definida en este caso)

\(\bullet\cot 90°=\frac{x}{y}=\frac{0}{r}=0\) 

\(\bullet\sec 90°=\frac{r}{x}=\frac{r}{0}\) (no definida en este caso)

\(\bullet \csc 90°=\frac{r}{y}=\frac{r}{r}=1\).

\(\blacktriangle\)

En los siguientes ejemplos se busca reflexionar sobre los casos que se nos presentan. 

 Ejemplo 4. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 360°.

Solución:

Las funciones del ángulo de 360° valen lo mismo que las del ángulo de 0°. Si al ángulo de 0° se le suma o se le resta un número entero de vueltas, la semirrecta OZ vuelve a quedar en el mismo lugar, es decir que no cambia de posición de OZ. Lo que significa que las funciones del nuevo ángulo que resulta, después de sumar o restar el ángulo de 0° cierto número de vueltas, son las mismas funciones de 0°.

La observación anterior se aplica en la práctica para calcular las funciones de cualquier ángulo con cualquier ángulo que tiene cualquier número de vueltas y fracción (aunque suene como trabalenguas).

\(\blacktriangle\)

Ejemplo 5. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 750°.

Solución:

Dividiendo 750° entre 360° nos queda el cociente 2 y el residuo 30. La división se hace entre 360 porque es el equivalente a una vuelta, al dividir 750 entre 360 obtenemos el número de vueltas que debe significar el ángulo de 750.

 Entonces ponemos 750°=2 vueltas+30°. Se sigue de aquí que las funciones de 750° son las mismas que las del ángulo de 30°.

\(\blacktriangle\)

Ejemplo 6. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de -1050°.

Solución:

Debemos dividir -1050 entre 360 para saber cuántas vueltas representa el ángulo dado. En este caso obtenemos:-3 vueltas+30°, entonces también, en este caso, las funciones del ángulo dado son las mismas que las de 30°.

\(\blacktriangle\) 

Tarea voluntaria

1. Encuentra \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) de:

a) \(\frac{\pi}{6}\).

b) \(\frac{\pi}{3}\).

c) \(\frac{\pi}{4}\).

d) -30°.

e) -60°.

2. Demuestra que si \(\alpha +\beta=180°\), entonces

a) \(\sin \beta=\sin \alpha\).

b) \(\cos \beta=-\cos\alpha\).

c) \(\tan \beta=-\tan\alpha\).

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9. Trigonometría

 La trigonometría plana es una rama fundamental de la matemática que centra en el estudio de las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos en un plano, su importancia radica no sólo en su aplicación en diversas áreas, sino también en su potencial capacidad para ayudar a desarrollar las habilidades analíticas y de resolución de problemas en los y las estudiantes.

Entre las aplicaciones de la trigonometría plana podemos mencionar, por ejemplo, el análisis de fenómenos relacionados con ondas de luz y sonido. En ingeniería se utiliza para diseñar y analizar las estructuras, desde puentes hasta circuitos electrónicos, en la astronomía permite calcular distancias entre las estrellas y planetas, en la geografía es de particular importancia para la cartografía y la navegación, incluso en la vida cotidiana la trigonometría se utiliza en actividades como la construcción y la medición de terrenos. 

Los orígenes de la trigonometría se remontan a las civilizaciones babilónicas y egipcia, donde se utilizaban conceptos trigonométricos básicos para la astronomía y la construcción, sin embargo fue en la antigua Grecia donde la trigonometría se consolidó como una disciplina matemática. Hiparco de Nicea, conocido como el padre de la trigonometría, desarrolló las primeras tablas trigonométricas y estableció muchas de las relaciones fundamentales entre los ángulos y los lados de los triángulos. Luego durante la edad media los matemáticos islámicos como Al-Battani y Al-Khwarizmi realizaron avances significativos en la trigonometría, expandiendo su aplicación y precisión. En el renacimiento los europeos retomaron y ampliaron estos conocimientos, con personajes como Regiomantanus y Copérnico, quienes aplicaron la trigonometría en sus estudios astronómicos. 

En estas secciones exploraremos los conceptos básicos y las aplicaciones prácticas de la trigonometría plana, con el objetivo de proporcionar una base sólida para su estudio.

Definición de las funciones trigonométricas

Como ya mencionamos, las funciones trigonométricas son fundamentales en la matemática y se utilizan para describir las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo.

Las funciones trigonométricas básicas se definen partiendo de un triángulo rectángulo en el que consideramos que sus catetos e hipotenusa se miden con la misma unidad y entonces las llamamos seno, coseno, y tangente, estas funciones se determinan considerando los ángulos agudos del triángulo rectángulo y sus lados. Para tener una mejor comprensión consideremos el triángulo rectángulo siguiente, cuyo ángulo recto está en C. 

Entonces las funciones trigonométricas, considerando el ángulo \(\alpha\) se definen como:

\(\bullet\sin \alpha=\frac{cateto-opuesto}{hipotenusa}=\frac{AC}{AB}\).

\(\bullet\cos \alpha=\frac{cateto-adyacente}{hipotenusa}=\frac{BC}{AB}\).

\(\bullet\tan\alpha=\frac{cateto-opuesto}{cateto-adyacente}= \frac{AC}{BC}\).

Estas son las definiciones básicas de las que se deducen las recíprocas, además no debemos dejar de lado que:

\(\tan\alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{\frac{AC}{AB}}{\frac{BC}{AB}}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

Entonces podemos concluir que la tangente del ángulo \(\alpha\) es igual al cociente del seno entre el coseno del mismo ángulo \(\alpha\). Las funciones trigonométricas también se pueden obtener si se considera el otro ángulo agudo del triángulo dao.

La cotangente, la secante y la cosecante se definen como las recíprocas de la tangente, el coseno y el seno respectivamente, es decir:

\(\bullet \cot\alpha=\frac{BC}{AC}\).

\(\bullet\sec\alpha=\frac{AB}{BC}\).

\(\bullet\csc\alpha=\frac{AB}{AC}\).

Con lo que hemos comentado podemos ver que las funciones básicas en realidad son seno y coseno porque en términos de ellas se definen las demás. Por otra parte, el Teorema de Pitágoras nos permite calcular un lado del triángulo rectángulo cuando conocemos los otros dos, de donde resulta que podemos calcular todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo cuando conocemos una de ellas. Para comprender esto último consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Considera un triángulo  ABC tal que \(\sin\alpha\frac{1}{2}\). Calcula las funciones trigonométricas faltantes respecto de \(\alpha\). 

Tenemos por el Teorema de Pitágoras que:

\(BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\),

entonces: \(BC^{2}+1^{2}=AB^{2}\), es decir que: \(BC^{2}=4-1\), por lo que:

\(BC=\sqrt{3}\).

Como ya tenemos las medidas de todos los lados, del triángulo, entonces ahora podemos calcular todas las funciones trigonométricas faltantes:

\(\bullet\sin \alpha=\frac{1}{2}\)

\(\bullet \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\bullet\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\bullet\csc\alpha=\frac{2}{1}\)

\(\bullet\sec\alpha=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\bullet\cot\alpha=\frac{\sqrt{3}}{1}\)

\(\blacktriangle\)

Tarea voluntaria

1. Utilizando un triángulo adecuado determina \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) del ángulo de 30°.

2. Utilizando un triángulo adecuado determina \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) del ángulo de 60°.

3. Utilizando un triángulo adecuado determina \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) del ángulo de 45°.

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8. Mediciones indirectas

 Básicamente la semejanza y la congruencia de triángulos tiene algunas aplicaciones y gracias a estas podemos ver que la geometría no está desligada de la realidad sino que nos puede servir como herramienta para comprenderla, uno de los problemas donde se puede utilizar es para medir de manera indirecta cuando no son accesibles los puntos entre los que deseamos medir su distancia. Veremos algunos ejemplos tradicionales de topografía.

Ejemplo 1. Considera dos puntos, que llamaremos A y B, separados por un obstáculo (un abismo, un lago, una construcción, etc) que no nos deja realizar la medición directa. 

Queremos saber cuál es la distancia entre A y B.

Solución:

Una forma de resolver el ejercicio es construir un punto auxiliar como se muestra en la imagen. 

Lo que haremos es utilizar el criterio de congruencia LAL, para esto prolonguemos AC y BC. A los extremos llamémosles A' y B'. 

Podemos considerar, ahora, el triángulo CA'B'. Por un teorema anterior sabemos que \(\angle ACB=\angle B'CA'\) pues son opuestos por el vértice. Luego también tenemos que AC=A'C ya que construimos el segmento A'C'. De manera similar se tiene que BC=B'C (así lo construimos), entonces podemos aplicar el criterio de congruencia LAL para concluir que:

\(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C\).

De esta manera con la seguridad que tenemos, de haber aplicado nuestros criterios de congruencia, podemos medir entonces el lado de extremos A', B' para encontrar la medida que se nos es solicitada.

\(\blacktriangle\)

Ejemplo 2. Consideremos un ejemplo muy interesante. Supongamos que en la distancia se encuentra un barco (teniendo en cuenta que su movimiento sea tan mínimo que está casi estático) y que nos encontramos en algún punto en la orilla del mal del que lo podemos observar y hasta el que queremos calcular la distancia. 

Solución:

Siempre debemos tener en cuenta que la mayoría de las veces existen varias soluciones para un mismo problema. Teniendo en consideración esto debemos pensar que las soluciones que damos en este texto son sólo una de varias soluciones que pueden existir. Para solucionar este problema podemos trazar una recta, partiendo del punto B, de donde nos encontramos y sobre la arena. La recta se traza de una medida arbitraria como se muestra en la imagen. 

Puesto que ya vimos como construir el punto medio de cualquier segmento, en este caso utilizamos este conocimiento para trazar el punto medio M del segmento cuyos extremos son B y C. 

En este punto cabe hacer hincapié en que podemos medir y considerar el ángulo visual que observamos desde B (donde nos encontramos) y el objetivo (el barco). Este ángulo es muy importante y nos será de utilidad pues así podemos trazar la paralela a \(\overline{AB}\) que para por C. 

De igual manera podemos situarnos en el punto M y considerar el ángulo visual que \(\overline{AM}\) forma con \(\overline{BM}\). 

Luego prolongamos \(\overline{AM}\) hasta que interseque la paralela a \(\overline{AB}\) que pasa por C. 

Por otra parte BM=MC ya que M es el punto medio de \(\overline{BC}\) (así construimos este punto), \(\angle BMA=\angle A'MC\) (son opuestos por el vértice) y \(\angle A'CM=\angle MBA\) (ya que replicamos el ángulo MBA para construir la paralela), entonces podemos utilizar el criterio de congruencia ALA para concluir que:

\(\triangle BMA\cong\triangle A'MC\),

en este caso podemos medir directamente \(\overline{A'C}\) para saber la distancia que queríamos, pues nuestro criterio de congruencia nos dice que los triángulos BAM y A'MC tienen sus tres lados correspondientes congruentes (es decir medidas de sus lados correspondientes son iguales).

\(\blacktriangle\)

Tarea voluntaria

1. Considera dos puntos que se encuentran separados por un obstáculo no acotado que impide la medición directa, entonces encuentra su distancia. Ten en cuenta que sólo puedes tener acceso a alguno de los puntos y no al otro.

2.Imagina que te encuentras sobre una costa desde la que puedes observar dos barcos, pero no puedes acceder a ellos a pie, entonces encuentra la distancia entre ellos. Es decir que son dos puntos visibles pero inaccesibles.

3. Considera dos rectas accesibles que se intersecan en un punto inaccesible e invisible, entonces encuentra la distancia entre este punto y un punto accesible.

4. Considera cuatro rectas distintas, las dos primeras se intersecan en un punto invisible e inaccesible al igual que las dos segundas, entonces encuentra la distancia entre estos puntos invisibles e inaccesibles.

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7.5. El Teorema de Pitágoras

 El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos en la matemática, se atribuye a Pitágoras de Samos, aunque esto no es de particular importancia, básicamente el teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. 

Pitágoras fundó una escuela de pensamiento, la Escuela Pitagórica, que combinaba aspectos de filosofía, religión y matemáticas. Es posible también tener en consideración que el teorema fuera conocido por matemáticos babilonios e indios mucho antes de Pitágoras, aunque él y sus seguidores fueron los primeros en proporcionar una demostración rigurosa del teorema. Aunque hay que considerar que incluso se conocía en China y también por aquellos rumbos se dio alguna demostración, el tratado donde se habla, más de esto, se conoce como Chou Pei Suang Chin. 

El Teorema de Pitágoras ha tenido un impacto profundo en el desarrollo de la matemática y la ciencia. No sólo es fundamental en la geometría euclidiana, sino que también tiene aplicaciones en la física, ingeniería y otras disciplinas. La simplicidad de este teorema ha llamado la atención de matemáticos durante siglos y continua siendo una parte importante del currículo matemático actual.

Queremos demostrar, en esta sección, el Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras. Si ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en A entonces la suma de los cuadrados de las medidas de dos de sus catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.

Demostración:

Consideremos el triángulo ABC con ángulo recta en A. 

Tracemos la altura por el vértice A, llamemos D al pie de esta altura y consideremos los triángulos ABD y ADC. 

Se tiene que \(\triangle ABD\sim\triangle ABC\) pues comparten el ángulo en B y ambos tienen un ángulo recto así que recurrimos al criterio de semejanza AA. De manera análoga se tiene que:

\(\triangle ABC\sim\triangle ABC\). De estas semejanzas obtenemos que:

\(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}=\frac{AD}{AC}\)...(1) y 

\(\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\)...(2).

De donde obtenemos en particular que:

\(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}\) de (1) y \(\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\) de (2).

Lo cual equivale a:

\(AB^{2}=BD\cdot BC\) y \(AC^{2}=DC\cdot BC\),

de donde 

\(AB^{2}+AC^{2}=BD\cdot BC+DC\cdot BC=BC(BD+DC)=BC\cdot BC=BC^{2}\). 

Por lo tanto:

\(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\).

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es \(\sqrt{2}\) veces el largo de un cateto si y sólo si es isósceles.

2. Demuestra que si la base de un triángulo isósceles es \(\sqrt{2}\) veces el largo de la medida de los lados congruentes, entonces el ángulo opuesto a la base es recto.

3. Demuestra que si \(\overline{AB}\), \(\overline{CD}\), \(\overline{EF}\), \(\overline{GH}\) y \(\overline{IJ}\) son cinco segmentos tales que con cualesquiera tres de ellos es posible construir un triángulo, entonces al menos uno de los triángulos, que se formarían, sería acutángulo.

4. Investiga sobre las demostraciones visuales que existen del Teorema de Pitágoras.

5. ¿Es cierto el recíproco del Teorema de Pitágoras? Si en un triángulo el cuadrado, de la medida, de un lado es igual a la suma de la medida de los cuadrados de los otros lados entonces el triángulo es rectángulo. Demuestra o da contraejemplo.

6*. Demuestra que si sobre los catetos y la hipotenusa, de un triángulo rectángulo, construimos triángulos equiláteros, correspondientes a las respectivas medidas de los catetos y la hipotenusa, entonces la suma de las áreas de los triángulos de los catetos es igual al área del triángulo de la hipotenusa.

7**. Demuestra que si sobre los catetos y la hipotenusa, de un triángulo rectángulo, construimos pentágonos regulares, correspondientes a las respectivas medidas de los catetos y la hipotenusa, entonces la suma de las áreas de los pentágonos de los catetos es igual al área del pentágono de la hipotenusa.

8***. ¿Puedes demostrar que si sobre los catetos y la hipotenusa, de un triángulo rectángulo, construimos polígonos regulares, correspondientes a las respectivas medidas de los catetos y la hipotenusa, entonces la suma de las áreas de los polígonos de los catetos es igual al área del polígono de la hipotenusa?

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7.4. Criterio LLL

 Criterio de semejanza LLL. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales, en la misma proporción, a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos considerados son proporcionales.

Demostración:

Consideremos dos triángulos cualesquiera que cumplan con las hipótesis mencionadas en el criterio, es decir dos triángulos ABC y DEF tales que:

\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\). 

De manera similar podemos trazar un punto E' sobre \(\overline{AB}\), tal que DE=AE', mediante una circunferencia de centro en A y radio DE, de manera similar podemos trazar un punto F' sobre \(\overline{AC}\) tal que AF'=DF. Entonces de esto último y las hipótesis tenemos que:

\(\frac{AB}{AE'}=\frac{AC}{AF'}\),

teniendo en cuenta esto y el hecho de que los triángulos ABC y AE'F' comparten el ángulo en A podemos concluir que:

\(\triangle ABC\sim\triangle AE'F'\) (utilizando el Criterio LAL de semejanza),

de esta semejanza obtenemos, también, que: \(\frac{BC}{E'F'}=\frac{AB}{AE'}\Leftrightarrow\frac{E'F'}{BC}=\frac{AE'}{AB}\), luego

E'F'=BC\(\cdot\frac{AE'}{AB}\), pero si tenemos en cuenta que AE'=DE, entonces:

E'F'=BC\(\cdot\frac{DE}{AB}\),

pero debido a que: \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\), en particular se tiene que:

\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\Leftrightarrow EF=BC\cdot\frac{DE}{AB}\), entonces:

E'F'=EF, con esto tenemos que los triángulos DEF y AE'F' son congruentes (aplicando el criterio de congruencia LLL), pues tienen tres lados correspondientes congruentes. Como los triángulos ABC y AE'F' son semejantes y \(\triangle DEF\cong\triangle AE'F'\) entonces podemos concluir que:

\(\triangle DEF\sim\triangle ABC\).

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra o da contraejemplo. Considera dos triángulos tales que las longitudes de dos lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados correspondientes del otro triángulo y el ángulo opuesto a uno de los lados del triángulo es congruente con el ángulo correspondiente del otro, entonces los triángulos son semejantes.

2. Demuestra que si consideramos \(\triangle ABC\), D el punto medio de \(\overline{AB}\), E el punto medio de \(\overline{AC}\) tal que \(AE > EC\), \(\overleftrightarrow{DE}\) y \(\overleftrightarrow{BC}\) se intersecan en F, entonces \(FB\cdot CE=FC\cdot EA\).

Cuestionario de evaluación

Cuestionario 7

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7.3. Criterio de semejanza LAL

 Criterio de semejanza LAL. Si un ángulo interno de un triángulo es congruente al ángulo interno de otro triángulo y además los lados que determinan el primer ángulo son proporcionales, en la misma proporción, con los lados que determinan el segundo ángulo entonces los triángulos, considerados, son semejantes.

Demostración:

Consideremos los triángulos ABC y DEF que cumplen las hipótesis que se mencionan en el criterio, es decir que \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\) y \(\angle BAC=\angle DEF\). 

Entonces podemos construir el triángulo AE'F' utilizando la técnica que vimos cuando demostramos el criterio de semejanza AAA, para esto sólo tomamos en cuenta que \(\angle BAC=\angle DEF\). Así tenemos que E' y F' son puntos sobre \(\overline{AB}\) y \(\overline{AC]\), respectivamente, que cumplen

AE'=DE y AF'=DF.

Como por hipótesis tenemos que: \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\) entonces \(\frac{AB}{AE'}=\frac{AC}{AF'}\), por el regreso del Teorema de Thales tenemos que:

\(\overline{EF'}\parallel\overline{BC}\),

de esto podemos concluir que \(\angle ABC=\angle AE'F'\) y \(\angle ACB=\angle AF'E'\) entonces el triángulo ABC y el triángulo AE'F' tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes con lo que podemos asegurar que:

\(\triangle ABC\sim\triangle AE'F'\),

luego como \(\triangle AE'F'\cong \triangle DEF\), entonces todos sus ángulos internos correspondientes, en estos triángulos, son congruentes, por lo que entonces podemos concluir que:

\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que si ABC y DEF son dos triángulos tales que \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\), \(AB >AC\), \(DE >DF\) y \(\angle BCA=\angle EDF\) entonces son semejantes.

2. Utilizando LAL demuestra que si en un triángulo dos bisectrices internas tienen la misma longitud entonces, el triángulo considerado, es isósceles.

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7.2. Criterio AA

 Debido a que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180° entonces podemos dar otro criterio de semejanza. En realidad se deduce muy fácilmente del criterio AAA.

Criterio de semejanza AA.  Si dos ángulos internos de un triángulo son congruentes a los dos ángulos internos de otro triángulo entonces los triángulos considerados son semejantes.

Demostración:

En cualquier triángulo se tiene que la suma de las medidas de sus ángulos internos es 180°, así si tenemos dos triángulos ABC y DEF tales que tienen dos ángulos correspondientes congruentes (es decir que miden lo mismo), por ejemplo \(\angle ABC=\angle DEF\) y \(\angle BAC=\angle EDF\) entonces como:

\(\angle ABC+\angle BCA+\angle BAC=180°\) (en el triángulo ABC) y

\(\angle DEF+\angle EFD+\angle EDA=180°\) (en el triángulo DEF)

se tiene que:

\(\angle ABC+\angle BCA+\angle BAC=180°=\angle DEF+\angle EFD+\angle EDF\),

pero por nuestras hipótesis nos queda como:

\(\angle BCA=\angle EFD\),

y así obtenemos que todos sus ángulos correspondientes son congruentes, con lo que aplicando el Criterio de semejanza AAA obtenemos que los dos triángulos dados son semejantes.

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Considera \(\square ABCD\), una recta \(l\) que pasa por B e interseca a \(\overline{AC}\) en E, a \(\overline{DC}\) en G y a la diagonal \(\overline{AD}\) en F. Demuestra que \(\triangle AEF\sim \triangle CEB\).

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7.1. Criterios de semejanza, criterio AAA

 El concepto de semejanza queda bien determinado en la siguiente definición.

Definición. Dos triángulos se dirá que son semejantes si los tres ángulos del primero son respectivamente congruentes con los ángulos del segundo y además sus lados correspondientes son proporcionales.

Luego si \(\triangle ABC\) y \(\triangle DEF\) son semejantes lo denotaremos por:

\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)

Ya determinamos la manera en que podemos comprobar cuando dos triángulos son semejantes. Luego para comprobar, de manera formal, que dos triángulos son semejantes será necesario comprobar que se cumplen las dos condiciones que indica la definición de semejanza que dimos. Para esto también tendremos tres criterios de semejanza.

Primer criterio de semejanza

Criterio AAA. Si los tres ángulos internos de un triángulo son congruentes a los ángulos internos de otro triángulo entonces los triángulos considerados son semejantes.

Demostración:

Consideremos los triángulos ABC y DEF de tal manera que tienen sus ángulos internos correspondientes congruentes (es decir que miden lo mismo). 

Para comprobar que los triángulos son semejantes debemos demostrar que se cumplan las dos condiciones impuestas por la definición de dimos, en este caso ya tenemos por hipótesis que los triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes, así que sólo falta comprobar que tienen sus tres lados correspondientes proporcionales. Tenemos por hipótesis que:

\(\angle BAC=\angle EDF\), \(\angle ABC=\angle DEF\) y \(\angle ACB=\angle DEF\).

Entonces, para continuar con la demostración, la técnica a seguir es la siguiente:

-Sobre alguno de los vértices, del triángulo DEF, construimos un triángulo DGH congruente con el triángulo ABC.

-Demostraremos que \(\triangle DGH\) es semejante al triángulo DEF.

-Como el triángulo DGH resultará semejante con el triángulo EDF y como será congruente con el triángulo ABC entonces el triángulo ABC resultará semejante al triángulo DEF.

Tomando como base el vértice D del triángulo DEF trazamos una circunferencia de centro en D y radio AB, esto nos determina un punto G en \(\overline{DE}\). 

De manera análoga tracemos una circunferencia de centro en D y radio AC, esto nos determina un punto H sobre \(\overline{DF}\), luego tracemos \(\overline{GH}\). Concentrémonos en demostrar que el triángulo DGH es semejante al triángulo DEF.

Tenemos que DG=AB pues así construimos a DG, de manera análoga se tiene que DH=AC. Por otra parte, por hipótesis se tiene que:

\(\angle BAC=\angle EDF\) y \(\angle EDG=\angle GDH\) (porque así construimos el triángulo)

en consecuencia

\(\angle BAC=\angle GDH \),

de esto podemos concluir que el triángulo ABC y el triángulo DGH son congruentes pues tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo, que abren estos lados, congruente, así que aplicamos el criterio de congruencia LAL, de esta congruencia obtenemos que:

\(\angle DGH=\angle ABC\) y \(\angle DHG=\angle ACB\).

Teniendo en cuenta que por hipótesis \(\angle ABC=\angle DEF\) y \(\angle ACB=\angle DFE\),

 entonces:

\(\angle DGH=\angle DEF\) y \(\angle DHG=\angle DFE\).

Así hemos comprobado que el triángulo DGH, que construimos, y el triángulo original DEF tienen tres ángulos internos correspondientes congruentes. Una consecuencia de que \(\angle DGH=\angle DEF\) es que

\(\overline{GH}\parallel\overline{EF}\),

pues se está dando el caso en que hay dos ángulos correspondientes congruentes. De este paralelismo podemos concluir, aplicando la ida del Teorema de Thales, que:

\(\frac{DE}{DG}=\frac{DF}{DH}\).

Para demostrar la proporcionalidad que nos falta realizaremos un proceso similar pero ahora considerando el vértice E del triángulo DEF. 

El razonamiento similar se recomienda realizarlo como ejercicio. Des esto obtenemos que \(\overline{GH}\parallel\overline{DF}\) y entonces:

\(\frac{DE}{EG}=\frac{EF}{EH}\), pero DG=EG, GH=EH y GH=DH,

por lo que obtenemos que:

\(\frac{DE}{DG}=\frac{DF}{DH}=\frac{EF}{GH}\).

Esto nos da como resultado que:

\(\triangle DGH\sim \triangle DEF\) y como \(\triangle DGH\cong\triangle ABC\),

entonces

\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\).

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que dos alturas correspondientes de cualesquiera dos triángulos semejantes están en la misma proporción que los lados correspondientes.

2. Demuestra que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera, de triángulos semejantes, están en la misma razón que los lados correspondientes.

3. Demuestra que si \(\triangle ABC\sim \triangle DEF\) y \(\triangle DEF \cong \triangle GHI\) entonces \(\triangle ABC\sim\triangle GHI\).

4. Demuestra que la relación: ser semejante a es una relación de equivalencia entre triángulos.

5. Considera si es posible demostrar que la relación: ser semejante a es una relación de equivalencia entre las figuras geométricas y de ser así, demuéstralo.

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7. Teorema de Thales, introducción a semejanza

 La semejanza es una de las propiedades más importantes de la geometría euclidiana ya que de ésta se derivan muchos otros resultados que veremos en estas secciones.

El concepto de semejanza, según se dice, es análogo al de proporción en el álgebra y así como la proporcionalidad es fundamental en el álgebra, la semejanza es básica en la geometría plana euclidiana y en sus aplicaciones. 

Cuando estudiamos la parte de congruencia quedamos en que la idea intuitiva nos decía que dos figuras geométricas son congruentes si ambas tienen la misma forma y el mismo tamaño. En el caso de la semejanza intuitivamente hablaremos de figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

El Teorema de Thales

El Teorema de Thales es uno de los pilares de la geometría y lleva el nombre de Thales de Mileto, un matemático y filósofo griego que vivió en el siglo VI a. C. Thales es conocido como uno de los siete sabios de Grecia y es considerado uno de los primeros matemáticos en aplicar el razonamiento deductivo para obtener resultados geométricos. 

Thales es famoso por haber utilizado la geometría para resolver problemas prácticos, según se dice utilizó su teorema para medir la altura de las pirámides de Egipto, observando las sombras proyectadas por éstos objetos. En esta sección realizaremos la demostración de este teorema. Otro de los aspectos importantes sobre el Teorema de Thales es que relaciona la proporcionalidad con el paralelismo.

Teorema (de Thales). En cualquier triángulo un segmento que corta a dos lados distintos, del triángulo dado, es paralelo al tercer lado si y sólo si las medidas de los segmentos, del triángulo, que resultan del corte son proporcionales.

Demostración:

\(\Rightarrow\rfloor\)

Puesto que es un teorema que incluye doble implicación debemos realizar ambos caminos. Consideremos el triángulo ABC y \(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\) como lo indican las hipótesis del teorema, debemos comprobar que \(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\). 

Tracemos \(\overline{BE}\) y consideremos los triángulos ABE y ADE 

Vemos que éstos triángulos tienen la misma altura considerada desde el vértice E, \(h_{e}\).

Por una proposición que ya demostramos sabemos que si dos triángulos tienen una misma altura entonces la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases desde la que se levanta la altura en común, así tenemos que:

\(\frac{(ABE)}{(ADE)}=\frac{AB}{AD}\),

demanera similar podemos trazar \(\overline{DC}\) para considerar los triángulos ADC y ADE. Vemos que tienen la misma altura \(h_{d}\) considerada desde el vértice D. 

De esta manera, por el mismo resultado que ya mencionamos, se tiene que:

\(\frac{(ADC)}{(ADE)}=\frac{AC}{AE}\).

Por otra parte consideremos \(\overline{BE}\) y \(\overline{DC}\) y los triángulos DBE y DCE.

Luego sus respectivas alturas desde D y desde E. 

Se tiene, en este caso, que las alturas miden lo mismo pues al tenerse que \(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\) y como las alturas son perpendiculares a \(\overline{BC}\) entonces se forma un paralelogramo, que como vimos, en el que sabemos que sus lados opuestos son congruentes teniendo en cuenta este hecho vemos que:

(DBE)=(DCE).

También se tiene que (ABE)=(ADE)+(DBE)=(ADE)+(DCE)=(ADC), por lo tanto:

(ABE)=(ADC).

De esta última igualdad se desprende que:

\(\frac{AC}{AE}\frac{(ADC)}{(ADE)}=\frac{(ABE)}{(ADE)}=\frac{AB}{AD}\),

entonces

\(\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}\).

\(\Leftarrow\rfloor\)

Consideremos el triángulo ABC y \(\overline{DE}\) como se muestra en la imagen, 

no podemos suponer que \(\overline{DE}\) es paralelo a \(\overline{BC}\), sin embargo podemos construir la paralela a \(\overline{DE}\) que pasa por B y que corta a \(\overline{AC}\) en C' (¿porqué podemos construir esta recta?). 

De aquí podríamos realizar un desarrollo similar a como hicimos en la ida del teorema y podemos concluir que:

\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC'}{AE}\),

pero por hipótesis se tiene que:

\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\),

entonces \(\frac{AC'}{AE}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow AC'=AC\), la última igualdad significa que \(\overline{AC}\cong\overline{AC}\), lo que implica que C=C', por lo que podemos concluir que, en efecto, 

\(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\)

\(\blacksquare\)

Algo que conviene tomar en cuenta es considerar que:

\(AD+DB=AB\) y \(AE+EC=AC\)

luego, como hemos obtenido que: \(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\) (resumiendo extremadamente), entonces:

\(\frac{AB}{AD}\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow \frac{AD+DB}{AD}=\frac{AE+EC}{AE}\) (tomando en cuenta lo que dijimos al principio), pero:

\(\frac{AD+DB}{AD}=\frac{AE+EC}{AE}\Leftrightarrow\frac{AD}{AD}+\frac{DB}{AD}=\frac{AE}{AE}+\frac{EC}{AE}\), de donde:

\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}\). Es decir que la proporción que hay entre las rectas transversales, que las cortan, se conserva. De esta manera el resultado anterior también se puede escribir como:

\(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\Leftrightarrow\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}\) (o \(\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}\) realizando una simple operación algebraica y claro, escrito de manera muy resumida).

Lo importante aquí es que se debe ser consiente de que se pueden utilizar estas dos formas para trabajar y de hecho, en geometría superior, comúnmente se utiliza la que más convenga sin que se haga mención alguna al respecto, como acabamos de hacer.

Tarea voluntaria

1. Considera \(\triangle ABC\) de tal manera que D es un punto sobre \(\overline{AB}\) y E un punto sobre \(\overline{AC}\), como en la imagen 

a) Si AB=12, AD=4 y AC=24, determina AE.

b) Si AC=15, AD=3 y AC=25, determina EC.

c) Si DB=AE, AD=4 y EC=9, determina AB.

2. Demuestra que en cualquier triángulo la bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en segmentos cuyas longitudes son proporcionales a los lados adyacentes a dicho ángulo.

3. Demuestra que si \(l_{1}\), \(l_{2}\) y \(l_{3}\) son tres rectas y \(t_{1}\), \(t_{2}\) son dos transversales, a éstas, entonces \(l_{1}\), \(l_{2}\) y \(l_{3}\) son paralelas si y sólo si las medidas de los segmentos determinados por \(l_{1}\), \(l_{2}\) y \(l_{3}\) y las transversales \(t_{1}\) y \(t_{2}\) son proporcionales.

Pista: En algunos textos a este resultado se le llama Segundo Teorema de Thales. El chiste no es ir a observar la demostración, sino realizarla uno mismo y comprenderla. También comprender porque tiene sentido que se le dé ese nombre.

Cuestionario de evaluación

Cuestionario 6

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