Como ya mencionamos, en la introducción, no existe una definición aceptable de los objetos básicos que manejaremos: punto, recta y plano, para trabajar, con estos objetos de manera adecuada, se hace de manera intuitiva y apelando a la idea que tengamos de ellos, pues se considera que ya antes se ha trabajado con ellos de alguna manera en la educación básica o intermedia.
Respecto de la notación, que tendremos en cuenta, es la siguiente:
- Los puntos los denotaremos por A, B, C, etc.
- Las rectas las denotaremos por n, m, l o con subíndices como: \(l_{1}\), \(l_{2}\), \(l_{3}\), etc.
- La circunferencia de centro en el punto O y radio r la denotaremos por C(O, r).
- Para los ángulos utilizaremos letras griegas (o latinas): \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), ... (a, b, c,...) o notación con subíndices: \(\alpha_{1}\), \(\alpha_{2}\), \(\alpha_{3}\), ..., (\(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\), ...,).
- \(\triangle ABC\): el triángulo ABC o más formalmente el triángulo cuyos vértices son A, B y C.
- No es notación, pero también es importante tomar en cuenta que cuando demos por terminado un ejemplo pondremos un \(\blacktriangle\) y cuando demos por terminada una demostración pondremos un \(\blacksquare\) como se acostumbra. A este respecto, en muchos textos, existen diversas notaciones que se utilizan para dar por terminada una demostración. El ya mencionado cuadradito, también las siglas QED que significa quod erat demonstrandum (lo que se quería demostrar). Pero en general se puede utilizar cualquier símbolo, siempre y cuando se especifique que es para indicar el final de una demostración.
- En ocasiones realizaremos comentarios a manera de explicación indicando el inicio con * y terminando con *. Toda la explicación estará en cursiva. Por ejemplo: *Este es un comentario explicativo*
Cabe hacer hincapié en que la notación será mucho más amplia ya que a lo largo de este curso iremos introduciendo más conceptos y en su momento describiremos la notación utilizada. Los 5 axiomas de los que partiremos y que consideraremos, a lo largo de este curso, son los siguientes:
- Axioma 1. Dos puntos distintos definen una única línea recta.
- Axioma 2. Una línea recta puede extenderse indefinidamente.
- Axioma 3. Con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una circunferencia.
- Axioma 4. Todos los ángulos rectos son iguales.
- Axioma 5. Si una recta n corta a dos rectas l y m de tal manera que la suma de las medidas de los ángulos (\(a_{1}\), \(a_{2}\)) que se encuentran del mismo lado respecto de n y entre l y m es menor que la suma de las medidas de dos ángulos rectos entonces las rectas l y m se encontrarán del mismo lado de donde se encuentran éstos ángulos.
En ningún momento debemos de perder de vista que los axiomas, que acabamos de enunciar, son proposiciones que se admiten sin demostración y puesto que estamos considerando al plano como un conjunto de puntos, entonces las figuras geométricas al ser subconjuntos del plano son conjuntos de puntos, es importante tener esto en cuenta pues facilita la comprensión de cuestiones geométricas específicas como por ejemplo determinar un conjunto de puntos que cumplan ciertas condiciones, entre otras cosas.
Fácilmente podemos visualizar figuras geométricas pues, en casi cualquier objeto que observemos encontramos líneas, líneas rectas, superficies, superficies planas, cuerpos sólidos. Un ejercicio sencillo que podemos realizar es observar objetos en nuestra habitación y considerar el plano determinado por el piso de la habitación o la recta determinada por alguno de los contornos de la puerta, lo interesante es ver que en realidad casi siempre estamos rodeados de formas, colores, texturas, etc.
Tarea voluntaria
1. Determina las formas equivalentes del axioma 5 o Quinto Postulado de Euclides.
2. Para comprobar que las formas equivalentes, del axioma 5, en realidad son equivalentes, realiza las demostraciones correspondientes.
3. Investiga que sucede, con la geometría, si se elimina el axioma 5 (o Quinto Postulado de Euclides).
4. ¿Cuáles geometría resultan al eliminar el axioma 5 (o Quinto Postulado de Euclides)?
5. Describe con todo detalle las geometrías resultantes al eliminar u omitir el axioma 5.
Cuestionario de evaluación
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