9.2. Funciones trigonométricas de ángulos simétricos

 Este tipo de ángulos tienen senos simétricos y cosenos idénticos. Tengamos en cuenta la siguiente figura. 

Si consideramos los ángulos u y -u vemos que la abscisa x=OM es positiva e igual para ambos ángulos, sin embargo la ordenada y=MP es distinta en cuanto a signo ya que -y=-P'M, por otra parte la distancia r es igual a OP e igual a OP'. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas tenemos que:

\(\bullet -\sin(u)=-\frac{PM}{OP}=-\frac{y}{r}=-\frac{-y}{r}=\sin(-u)\)

\(\bullet \cos(u)=\frac{OM}{OP}=\frac{x}{r}=-\cos(-u)\)

\(\bullet -\tan(u)=-\frac{PM}{OM}=-\frac{y}{x}=\frac{-y}{x}=\frac{P'M}{OM}=\tan(-u)\)

\(\bullet -\cot(u)=-\frac{OM}{PM}=-\frac{x}{y}=\frac{x}{-y}=\cot(-u)\)

\(\bullet \sec(u)=\frac{OP}{OM}=\frac{r}{x}=\frac{OP'}{OM}=\sec(-u)\)

\(\bullet-\csc(u)=-\frac{OP}{PM}=-\frac{r}{y}=\frac{r}{-y}=\frac{}{}=\csc(-u)\)

Medida circular

Hasta este punto del texto hemos medido los ángulos mediante grados y en sentido antihorario, sin embargo existen otras medidas para determinar ángulos y aunque también se pueden medir en el sentido horario seguiremos realizando las mediciones de los ángulos en el sentido anti-horario.

También es muy utilizada la medida circular o en radianes de los ángulos. Al ángulo de 180° se le asigna el número \(\pi\) que es un número irracional cuyo valor aproximado es:

3.1416

sin embargo se pueden dar más decimales, la fila es infinita.

\(\pi\approx\)3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...

Vemos una aproximación de \(\pi\) hasta de cien decimales y los tres puntos suspensivos al final indican que la fila es infinita, sin dejar de lado que es no periódica.

Como ya mencionamos al ángulo de 180° (es decir al ángulo llano) se le asigna la medida de \(\pi\) por lo que al ángulo de 360° (una vuelta completa) se le asigna la medida de \(2\pi\), que en términos precisos es el cociente de la longitud de la circunferencia entre la longitud del radio, 

Por otra parte el vértice de algún triángulo puede superponerse en el centro de una circunferencia y con este proceso se puede obtener la medida circular del ángulo considerado, realizando el cociente (la división) de la longitud del arco que comprenden sus lados entre la longitud del radio de ese arco. 

Algo que se puede utilizar para tener una idea más práctica es hacer una table de equivalencia entre grados y medida circular (aunque mediante una regla de tres es posible obtener también cualquier equivalencia que se necesite). 

\(Grados-1°-30°-45°-60°-90°-180°-360°\)

\(Radianes-\frac{\pi}{180}-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}-\pi-2\pi\)

De acuerdo a lo que tenemos en esta tabla.

Tarea voluntaria

1. Demuestra que:

a) \(\sin -\alpha=-\sin\alpha\). 

b) \(\cos -\alpha=\cos \alpha\). 

c) \(\tan -\alpha =-\tan\alpha\).

2. Demuestra que:

 \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\).

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