Ya que hemos visto como se calcula el área de un rectángulo entonces podemos dar dos resultados que nos serán de utilidad más adelante.
Definición. Dado un triángulo ABC su altura, desde el vértice A, es el segmento de recta perpendicular que va de A hasta \(\overline{BC}\). En este caso la denotaremos por \(h_{a}\) y al punto donde toca a \(\overline{BC}\) le llamaremos pie de la altura \(h_{a}\).
Hay que tener siempre en cuenta que cualquiera de los tres lados del triángulo se pueden considerar como base y entonces la altura, aunque se considera teniendo en cuenta el mismo concepto básico, se denota de forma distinto, pues ya con denotarla de cierta manera se precisa cual de los lados del triángulo dado se está tomando como base.
Teniendo en cuenta la definición de altura del triángulo, que acabamos de dar, podemos considerar el siguiente resultado.
Proposición. (Área del triángulo) El área de un triángulo cualquiera es la mitad del producto de la medida de cualesquiera de sus bases por la medida de la latura correspondiente sobre la base considerada.
Demostración:
Consideremos los únicos casos posibles:
1. El triángulo es un triángulo rectángulo.
En este caso podemos completar el triángulo para obtener un rectángulo ABCD
y puesto que sabemos calcular el área del rectángulo (que es \(AB\cdot BC\)) obtenemos que el área del triángulo es:
\(\frac{AB\cdot BC}{2}\).
2. El pie de la altura cae dentro del triángulo.
Tenemos que:
(ABC)=(ABD)+(ADC),
pero esto se reduce al primer caso, ya que tanto el triángulo ABC como el triángulo ADC son triángulos rectángulos, entonces:
(ABD)=\(\frac{BD\cdot AD}{2}\) y (ADC)=\(\frac{DC\cdot AD }{2}\), por lo tanto
(ABC)=\(\frac{BD\cdot AD}{2}+\frac{DC\cdot AD}{2}=\frac{BD\cdot AD+DC\cdot AD}{2}=\frac{(BD+DC)AD}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}\).
Por lo tanto:
(ABC)=\(\frac{BC\cdot AD}{2}\).
3. El pie de la altura cae fuera del triángulo.
En este caso se puede tener que B está entre D (el pie de la altura \(h_{a}\)) y C o C entre B y D (es análogo). Entonces se tiene que:
(ABC)=(ADC)-(ADB)=\(\frac{DC\cdot AD}{2}-\frac{DB\cdot Ad}{2}=\frac{DC\cdot AD-(DB\cdot AD) }{2}=\frac{(DC-DB)AD}{2}=\frac{BD\cdot AD}{2}\),
por lo tanto:
(ABC)=\(\frac{BD\cdot AD}{2}\).
\(\blacksquare\)
Tarea voluntaria
1. Determina el área de cualquier polígono (ya sea convexo o cóncavo).
2. En el número 3 de la Proposición (área del triángulo) se considero la altura, del triángulo, que caía fuera. ¿Es posible omitir este caso? Da una respuesta y argumenta de manera detallada.
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