9.1. Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

 Casi siempre al inicio en el estudio de la trigonometría nos queda la idea de que las funciones trigonométricas sólo se estudian sobre ángulos agudos necesariamente, sin embargo se puede y se debe realizar el estudio en cualquier tipo de ángulos, no necesariamente agudos. Para definir las funciones de cualquier ángulo usamos los ejes coordenados. 

Este par de ejes perpendiculares, Y'Y y X'X, se cortan en el punto O, que es el origen del sistema. Tenemos que arriba del eje X'X las distancias se consideran positivas y hacía abajo se consideran negativas. Las distancias a la derecha del eje Y'Y son positivas y negativas a la izquierda, entonces el punto P tiene su ordenada (o coordenada en Y) positiva y abscisa (o coordenada en x) también positiva. Pero el punto Q tiene su abscisa negativa y su ordenada negativa.

Si consideramos un rayo (o semirrecta) que parte del origen, este forma un ángulo a con el semi-eje positivo OX como se muestra en la imagen. 

En este caso el ángulo a es obtuso. También podemos considerar un ángulo agudo como se muestra en la imagen de abajo. 

En ambos casos se toma un punto P sobre la semi-recta OZ y se consideran la abscisa y la ordenada de P, al igual que su distancia al origen r, esta distancia siempre se considera positiva. Entonces definimos:

\(\bullet \sin a=\frac{y}{r}=\frac{ordenada-de-P}{distancia-de-P-al-origen}\cdot \csc a=\frac{r}{y}=\frac{1}{\sin a}\)

\(\bullet \cos a=\frac{x}{r}=\frac{distancia-de-P}{distancia-de-P-al-origen}\cdot \sec a=\frac{r}{x}=\frac{1}{\cos a}\)

\(\bullet \tan a=\frac{y}{x}=\frac{ordenada-de-P}{abscisa-de-P}\cdot \cot a=\frac{x}{y}=\frac{1}{\tan a}\).

Nos damos cuenta que basta con conocer el seno y el coseno de un ángulo para conocer las funciones restanes. También son válidas las tres relaciones ya establecidas para ángulos agudos, que valen también para cualquier ángulo, no necesariamente agudo:

\(\bullet \sin^{2} a+\cos^{2} a=1\)

\(\bullet \sec^{2} a=1+\tan^{2} a\)

\(\bullet \csc^{2} a=1+\cot^{2} a\)

Los signos de las funciones de los ángulos en los cuatro cuadrantes se pueden ver en la tabla siguiente: 

\(\blacktriangle\)

Los siguientes ejemplos nos servirán de ayuda para comprender cómo calcular las funciones trigonométricas sin importar el tipo de ángulo de que se trate.

Ejemplo 2. Calculemos las funciones trigonométricas respecto del ángulo de 0°.

Solución: 

En este caso la semirrecta OZ coincide con el semi-eje positivo OX para que tengamos el ángulo de 0°. El punto P tiene ordenada nula y=0 y x=r, entonces:

\(\bullet \sin 0°=\frac{0}{r}=0\)

\(\bullet\cos 0°=\frac{r}{r}=1\)

\(\bullet \tan 0°=\frac{\sin 0°}{\cos 0°}=\frac{0}{1}=0\)

\(\bullet\cot 0°=\frac{1}{0}\) no está definida en este caso

\(\bullet\sec 0°=\frac{1}{\cos 0°}=\frac{1}{1}=1\)

\(\bullet \csc 0°=\frac{1}{\sin 0°}=\frac{1}{0}\) no está definida en este caso.

\(\blacktriangle\)

Ejemplo 3. Calculamos las funciones trigonométricas respecto del ángulo de 90°.

Solución:

\(\bullet \sin 90°=\frac{y}{r}=\frac{r}{r}=1\)

\(\bullet\cos 90°=\frac{x}{r}=\frac{0}{r}=0\)

\(\bullet \tan 90°=\frac{y}{x}=\frac{r}{0}\) (no definida en este caso)

\(\bullet\cot 90°=\frac{x}{y}=\frac{0}{r}=0\) 

\(\bullet\sec 90°=\frac{r}{x}=\frac{r}{0}\) (no definida en este caso)

\(\bullet \csc 90°=\frac{r}{y}=\frac{r}{r}=1\).

\(\blacktriangle\)

En los siguientes ejemplos se busca reflexionar sobre los casos que se nos presentan. 

 Ejemplo 4. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 360°.

Solución:

Las funciones del ángulo de 360° valen lo mismo que las del ángulo de 0°. Si al ángulo de 0° se le suma o se le resta un número entero de vueltas, la semirrecta OZ vuelve a quedar en el mismo lugar, es decir que no cambia de posición de OZ. Lo que significa que las funciones del nuevo ángulo que resulta, después de sumar o restar el ángulo de 0° cierto número de vueltas, son las mismas funciones de 0°.

La observación anterior se aplica en la práctica para calcular las funciones de cualquier ángulo con cualquier ángulo que tiene cualquier número de vueltas y fracción (aunque suene como trabalenguas).

\(\blacktriangle\)

Ejemplo 5. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 750°.

Solución:

Dividiendo 750° entre 360° nos queda el cociente 2 y el residuo 30. La división se hace entre 360 porque es el equivalente a una vuelta, al dividir 750 entre 360 obtenemos el número de vueltas que debe significar el ángulo de 750.

 Entonces ponemos 750°=2 vueltas+30°. Se sigue de aquí que las funciones de 750° son las mismas que las del ángulo de 30°.

\(\blacktriangle\)

Ejemplo 6. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de -1050°.

Solución:

Debemos dividir -1050 entre 360 para saber cuántas vueltas representa el ángulo dado. En este caso obtenemos:-3 vueltas+30°, entonces también, en este caso, las funciones del ángulo dado son las mismas que las de 30°.

\(\blacktriangle\) 

Tarea voluntaria

1. Encuentra \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) de:

a) \(\frac{\pi}{6}\).

b) \(\frac{\pi}{3}\).

c) \(\frac{\pi}{4}\).

d) -30°.

e) -60°.

2. Demuestra que si \(\alpha +\beta=180°\), entonces

a) \(\sin \beta=\sin \alpha\).

b) \(\cos \beta=-\cos\alpha\).

c) \(\tan \beta=-\tan\alpha\).

Enlaces

Entrada anterior \(\Rightarrow\) 9. Trigonometría

Siguiente entrada \(\Rightarrow\) 9.2. Funciones trigonométricas de ángulos simétricos