Básicamente la semejanza y la congruencia de triángulos tiene algunas aplicaciones y gracias a estas podemos ver que la geometría no está desligada de la realidad sino que nos puede servir como herramienta para comprenderla, uno de los problemas donde se puede utilizar es para medir de manera indirecta cuando no son accesibles los puntos entre los que deseamos medir su distancia. Veremos algunos ejemplos tradicionales de topografía.
Ejemplo 1. Considera dos puntos, que llamaremos A y B, separados por un obstáculo (un abismo, un lago, una construcción, etc) que no nos deja realizar la medición directa.
Queremos saber cuál es la distancia entre A y B.
Solución:
Una forma de resolver el ejercicio es construir un punto auxiliar como se muestra en la imagen.
Lo que haremos es utilizar el criterio de congruencia LAL, para esto prolonguemos AC y BC. A los extremos llamémosles A' y B'.
Podemos considerar, ahora, el triángulo CA'B'. Por un teorema anterior sabemos que \(\angle ACB=\angle B'CA'\) pues son opuestos por el vértice. Luego también tenemos que AC=A'C ya que construimos el segmento A'C'. De manera similar se tiene que BC=B'C (así lo construimos), entonces podemos aplicar el criterio de congruencia LAL para concluir que:
\(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C\).
De esta manera con la seguridad que tenemos, de haber aplicado nuestros criterios de congruencia, podemos medir entonces el lado de extremos A', B' para encontrar la medida que se nos es solicitada.
\(\blacktriangle\)
Ejemplo 2. Consideremos un ejemplo muy interesante. Supongamos que en la distancia se encuentra un barco (teniendo en cuenta que su movimiento sea tan mínimo que está casi estático) y que nos encontramos en algún punto en la orilla del mal del que lo podemos observar y hasta el que queremos calcular la distancia.
Solución:
Siempre debemos tener en cuenta que la mayoría de las veces existen varias soluciones para un mismo problema. Teniendo en consideración esto debemos pensar que las soluciones que damos en este texto son sólo una de varias soluciones que pueden existir. Para solucionar este problema podemos trazar una recta, partiendo del punto B, de donde nos encontramos y sobre la arena. La recta se traza de una medida arbitraria como se muestra en la imagen.
Puesto que ya vimos como construir el punto medio de cualquier segmento, en este caso utilizamos este conocimiento para trazar el punto medio M del segmento cuyos extremos son B y C.
En este punto cabe hacer hincapié en que podemos medir y considerar el ángulo visual que observamos desde B (donde nos encontramos) y el objetivo (el barco). Este ángulo es muy importante y nos será de utilidad pues así podemos trazar la paralela a \(\overline{AB}\) que para por C.
De igual manera podemos situarnos en el punto M y considerar el ángulo visual que \(\overline{AM}\) forma con \(\overline{BM}\).
Luego prolongamos \(\overline{AM}\) hasta que interseque la paralela a \(\overline{AB}\) que pasa por C.
Por otra parte BM=MC ya que M es el punto medio de \(\overline{BC}\) (así construimos este punto), \(\angle BMA=\angle A'MC\) (son opuestos por el vértice) y \(\angle A'CM=\angle MBA\) (ya que replicamos el ángulo MBA para construir la paralela), entonces podemos utilizar el criterio de congruencia ALA para concluir que:
\(\triangle BMA\cong\triangle A'MC\),
en este caso podemos medir directamente \(\overline{A'C}\) para saber la distancia que queríamos, pues nuestro criterio de congruencia nos dice que los triángulos BAM y A'MC tienen sus tres lados correspondientes congruentes (es decir medidas de sus lados correspondientes son iguales).
\(\blacktriangle\)
Tarea voluntaria
1. Considera dos puntos que se encuentran separados por un obstáculo no acotado que impide la medición directa, entonces encuentra su distancia. Ten en cuenta que sólo puedes tener acceso a alguno de los puntos y no al otro.
2.Imagina que te encuentras sobre una costa desde la que puedes observar dos barcos, pero no puedes acceder a ellos a pie, entonces encuentra la distancia entre ellos. Es decir que son dos puntos visibles pero inaccesibles.
3. Considera dos rectas accesibles que se intersecan en un punto inaccesible e invisible, entonces encuentra la distancia entre este punto y un punto accesible.
4. Considera cuatro rectas distintas, las dos primeras se intersecan en un punto invisible e inaccesible al igual que las dos segundas, entonces encuentra la distancia entre estos puntos invisibles e inaccesibles.
Enlaces
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