10. Miscelánea de geometría: El número de oro

 El número áureo

Los pitagóricos, comunidad fundada en el siglo VI a. C. por Pitágoras de Samos en Crotona, Italia, no sólo se dedicaron al estudio de la aritmética y la geometría, sino que también desarrollaron una forma de vida casi religiosa, en la que los números y las proporciones eran vistos como principios fundamentales del universo. Dentro de su hermandad, utilizaban símbolos secretos para reconocerse entre sí, siendo uno de los más importantes la estrella de cinco puntas o pentagrama.

El pentagrama, también llamado pentalfa por estar formado por cinco letras alfa superpuestas, era dibujado por los pitagóricos en el suelo, en tablillas o en cartas para identificarse.

Más que un simple adorno, representaba para ellos la armonía del cosmos y la perfección matemática. La figura está íntimamente relacionada con el número áureo (\(\phi \approx 1.618...\)) pues al trazar sus diagonales se generan múltiples segmentos cuya razón es precisamente ls proporción áurea. Esta propiedad lo convirtió en un símbolo de equilibrio, belleza y orden universal. 

Históricamente, el pentagrama trascendió el círculo pitagórico. En la Grecia clásica fue considerado un amuleto de salud, conocido como el signo de Hygieia, la diosa de la sanación. Más tarde, en la Edad Media, pasó a asociarse con la magia, la alquimia y el ocultismo, aunque en sus orígenes había sido un emblema filosófico y matemático. Hoy en día, sigue siendo una de las figuras geométricas más cargadas de simbolismo cultural y científico, recordándonos el profundo vínculo entre la matemática antigua y la búsqueda de sentido en el cosmos.

Ahora nos enfocaremos en la siguiente cuestión:

¿Cómo obtener el número áureo?

El número de oro o razón dorada, que comúnmente es representado por la letra griega \(\Phi\) o \(\phi\), es un número algebraico que se puede obtener dividiendo en segmento \(AB\), en dos, como se observa en la imagen.

De tal manera que las medidas de los segmentos resultantes satisfagan la relación siguiente:

\(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\)

Existe una forma de obtener la razón áurea, de manera precisa, conceptualmente ya que la podemos encontrar en el pentágono regular. 

Antes de estudiar esta forma, debemos considerar ciertos conceptos o ideas que nos serán de utilidad más adelante.

Definición 1.1.  Dados dos segmentos de recta, AB y CD, cuyas medidas son a y b respectivamente (es decir que AB = a y CD = b) tales que 

\(a > b\),

decimos que AB y CD están en proporción áurea si:

\(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\)

La ecuación (relación) dada en la Definición 1.1. se puede manipular como sigue:

\(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}\) \(\Leftrightarrow -\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=0\) \(\Leftrightarrow -\frac{a^{2}}{b}+b+a=0\Leftrightarrow\) \(-\frac{a^{2}}{b^{2}}+1+\frac{a}{b}=0\Leftrightarrow\) \(-\frac{a^{2}}{b^{2}}+1=0\Leftrightarrow\) \(\frac{a^{2}}{b^{2}}-\frac{a}{b}-1=0\Leftrightarrow (\frac{a}{b})^{2}-\frac{a}{b}-1=0\).

Si renombramos \(\frac{a}{b}=\Phi\), obtenemos la ecuación:

\(\Phi^{2}-\Phi - 1=0\).

Cuya solución se obtiene fácilmente utilizando la fórmula general de segundo grado.

\(\Phi =\frac{1(+/-)\sqrt{1-4(1)(-1)}}{2}=\frac{1(+/-)\sqrt{5}}{2}\).

Debemos descartar el caso negativo de la solución pues no debemos olvidar que \(a>b>0\) (pues son medidas de segmentos) por lo que \(\frac{a}{b}>0\) y como 

\(\Phi=\frac{a}{b}\)

entonces:

\(\Phi >0\).

De esta manera tenemos que la solución es:

\(\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.6180333989\)...

La discusión que hemos hecho sólo nos da una idea de la proporción áurea y sirve de introducción, sin embargo la Definición 1.1. no prueba la existencia de éstos segmentos o medidas. Una forma de comprobar la existencia de que, en efecto, existe esta proporción, es considerar un pentágono regular, que no es otra cosa que un pentágono que tiene todos sus lados y sus ángulos internos iguales, como el de la siguiente imagen.

Consideremos el pentágono regular ABCDE con todas sus diagonales, a esto también se le suele llamar el estrellamiento completo del pentágono regular y tracemos, también, la circunferencia que lo contiene, es decir su circuncírculo.

Tracemos el segmento FG como se muestra

Tenemos que: 

\(\angle CAD=\angle CED\)

ya que abren el mismo arco. Por otra parte \(\angle CAD=\angle BEC\) porque el triángulo ACD es congruente con el triángulo EBC y sus ángulos CAD y BEC son correspondientes. De estas relaciones resulta que:

\(\angle BEC=\angle CED\).

Por otra parte tenemos que \(\square FCDE\) es un paralelogramo, por lo que FE = CD y DE = CF, pero CD = DE ya que son lados del pentágono regular y una de sus propiedades es que tiene todos sus lados iguales, entonces FE = DE. Luego, si consideramos los triángulos EFG y DEG (como se ve en la imagen)

vemos que son congruentes por el criterio ALA ya que estos triángulos comparten el lado EG, FE = DE y \(\angle BEC=\angle CED\). De esta congruencia obtenemos que:

FG = GD...(1)

Como CF = DE, CD = FE y FE = DE entonces CF =CD, de esta manera se tiene que \(\triangle CFG\) es congruente a \(\triangle CDG\)

por el criterio de congruencia LLL pues sus tres lados correspondientes son iguales (comparten CG y CF = CD). Sin dejar de lado las congruencias que hemos obtenido consideremos lo siguiente:

\(\bullet\) \((FGDE)=(FGE)+(EGD)=2(FGE)\)

\(\bullet\) \((FCDG)=(FCG)+(GCD)=2(FCG)\).

Así que:

\(\frac{(FGDE)}{(FCDG)}=\frac{(FGE)+(EGD)}{(FCG)+(GDC)}=\frac{2(FGE)}{2(FCG)}\).

Entonces:

\(\frac{(FGDE)}{(FCDG)}=\frac{(FGE)}{(FCG)}\)...(2)

Por otro lado los triángulos FGE y FCG tienen la misma altura h desde el vértice F

así que:

\(\frac{(FGE)}{(FCG)}=\frac{GE}{CG}\)...(3)

Es decir que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases donde se levanta esa altura en común.

Podemos prolongar FG hasta que se encuentre con DE en el punto J y de J trazar HJ, donde H es el punto de intersección de CE y BD, luego consideremos el triángulo CDG y el triángulo EGJ,

debido al criterio de semejanza AAA, son semejantes porque tienen sus tres ángulos correspondientes iguales. De esta semejanza obtenemos que:

\(\frac{CG}{GE}=\frac{CD}{EJ}=\frac{GD}{GJ}\)...(4)

Los triángulos GDE y GHJ también son semejantes porque tienen sus tres lados correspondientes proporcionales, así que aplicamos el criterio LLL.

De esta semejanza obtenemos que:

\(\frac{GD}{GJ}=\frac{GE}{GH}=\frac{DE}{HJ}\)...(5)

De (4) y (5), haciendo cuentas, nos queda:

\(\frac{GE}{GH}=\frac{GC}{GE}\)...(6)

Tenemos que GC = CH + GH, entonces:

\(\frac{GE}{GH}=\frac{GC}{GE}=\frac{CH+GH}{GE}=\frac{CH}{GE}+\frac{GH}{GE}\)

y como el triángulo HCD es congruente al triángulo GDE, entonces CH = GE,

de donde obtenemos que:

\(\frac{GE}{GH}=1+\frac{GH}{GE}\)...(7)

La ecuación (6) la podemos manipular para obtener:

\(-\frac{GH}{GE}+\frac{GE}{GH}-1=0\)...(8)

Podemos multiplicar (8) por GE y por \(\frac{1}{GH}\) para llegar a 

\(-1+\frac{GE^{2}}{GH^{2}}-\frac{GE}{GH}=0\Leftrightarrow\frac{GE^{2}}{GH^{2}}-\frac{GE}{GH}-1=0\Leftrightarrow (\frac{GE}{GH})^{2}-\frac{GE}{GH}-1=0\)...(9)

En la ecuación (9) podemos hacer simplemente \(\Phi=\frac{GE}{GH}\) para obtener la ecuación:

\(\Phi^{2}-\Phi-1=0\)

Que como vimos se obtiene que:

\(\Phi\approx 1.618033989\) 

descartando el caso negativo pues estamos trabajando con magnitudes de segmentos y éstas son positivas. Además de que \(GE>GH>0\). Por último debemos considerar la ecuación (6) para concluir que:

\(\frac{GC}{GE}\approx 1.618033989...\)

Lo que podemos concluir teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (3) es que:

\(\frac{(FCDG)}{(FGDE)}\approx 1.618033989...\)

Es decir:

\(\frac{(FCDG)}{(FGDE)}=\Phi\).

Así comprobamos que en el pentágono regular se puede encontrar el número de oro pues es la razón entre las áreas de los cuadriláteros FCDG y FGDE, éstos se conocen como el papalote y la daga respectivamente, son de particular interés en las teselaciones de Penrose. Aquí vimos como están relacionadas con la razón áurea, pues la razón entre sus áreas es justamente \(\Phi\).

\(\blacksquare\)

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