6.2. Desigualdad del triángulo

 Teorema (Desigualdad del triángulo). Si a, b y c son números reales positivos, entonces existe un triángulo cuyos lados miden a, b y c si y sólo si

\(a+b>c\)

\(a+c>b\)

\(b+c>a\).

Demostración: 

\(\Rightarrow\rfloor\)

Consideremos el triángulo ABC, de tal manera que sus lados miden a, b y c. 

Con centro en C y radio b trazamos una circunferencia, luego prolongamos \(\overline{BC}\) hasta que interseque, en D, a la circunferencia que acabamos de trazar. Tracemos \(\overline{AD}\) y consideremos el triángulo ACD. 

Notemos que el triángulo ACD es isósceles pues se tiene que AC=CD ya que ambos segmentos miden lo mismo por ser radios de la misma circunferencia. Vemos también que:

\(\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD\),

por lo que:

\(\angle BAD>\angle BAC\) y \( \angle BAD> \angle CAD\),

pero \(\angle CAD=\angle CDA\) pues esto ángulos son los ángulos opuestos a los lados \(\overline{CD}\) y \(\overline{AC}\) respectivamente, teniendo en cuenta esto podemos concluir que:

\(\angle BAD>\angle CDA\).

Por el Lema 2 podemos concluir que:

BD>AB.

Es decir que:

BC+CD>AB\(\Leftrightarrow\) a+b>c.

La demostración de los casos faltantes se hace de manera análoga.

\(\Leftarrow\rfloor\)

Por hipótesis tenemos que a, b y c son números reales positivos tales que a+b>c, a+c>b y b+c>a. Por las propiedades de los números reales no perdenmos generalidad si suponemos que:

\(a\leq b\leq c\) y trazamos \(\overline{AB}\) de longitud c. 

Trazamos una circunferencia de centro en A y radio b y una circunferencia de centro en B y radio a. Estas deben de intersecarse en dos puntos porque de lo contrario se tendría que a+b\(\leq\) c lo que contradiría una de nuestras hipótesis. 

Seleccionamos alguno de los puntos donde las circunferencias se intersecan y trazamos \(\overline{AC}\) y \(\overline{BC}\). 

Los lados del triángulo ABC que acabamos de construir tienen las medidas indicadas en las hipótesis del teorema.

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demostrar que la suma de las longitudes de las diagonales de un cuadrilátero es menor que el perímetro del cuadrilátero.

2. Considera tres puntos A, B y C, no necesariamente distintos. Demuestra que \(AB+BC\leq AC\).

3. Utilizando inducción demuestra que si \(A_{1}\), \(A_{2}\), ..., \(A_{n}\) son n puntos entonces:

\(A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+...+A_{n-1}A_{n}\geq  A_{1}A_{2}\)

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