6. Propiedades básicas del triángulo

 Existen tres propiedades fundamentales que cumplen los triángulos y que son muy utilizadas en diversos resultados que obtendremos más adelante. Además de éstas propiedades básicas veremos otras que nos servirán también.

Ángulos internos

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

El ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.

Desigualdad del triángulo.

Ya mencionamos que los vértices de un polígono los denotamos en el sentido anti-horario y siempre que no se diga algo, así serán tomados, por otra parte también se pueden denotar, sus vértices, en el sentido horario pero tiene que ser indicado desde un principio, esto tiene importancia pues así no cabe confusión sobre los ángulos externos que se están considerando y esto es relevante en una demostración. Comenzamos con una propiedad muy sencilla pero importante que se conoce desde la educación básica.

Teorema (ángulos internos). En cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos es un ángulo llano (un ángulo de 180°).

Demostración:

Consideremos \(\triangle ABC\) 

como no hemos indicado el sentido en el que están denotados los vértices del triángulo se debe sobreentender que se denotan en el sentido anti-horario, entonces los ángulos internos son los que están tomados a la izquierda (sin dejar de imaginarse que uno está caminando en sentido anti-horario) por lo que los ángulos externos son los suplementarios a éstos. 

Por otra parte ya vimos que lo importante de una demostración en geometría euclidiana es la construcción geométrica, en ningún caso tenemos impedido trazar rectas, puntos, circunferencias, etc., que nos permitan realizar la demostración que se nos pide, siempre y cuando los elementos que vayamos a construir ya los hayamos elaborado antes, porque de otra manera se debe comprender que no se sabe hacerlo y entonces no se puede utilizar. En la parte de construcciones geométricas notamos que existe pues se dejo como ejercicio construir una recta paralela a una recta dada por un punto fuera de ella, al dejarse como ejercicio se comprende que se puede utilizar pues pensaremos que ya fue hecha.

Volviendo al triángulo ABC dado, podemos trazar, entonces, una recta paralela l a \(\overline{BC}\) que pase por el punto A. 

*Nota: Para que no queden dudas, sobre porque podemos construir esta recta, consideremos lo siguiente: nosotros sabemos construir rectas paralelas a rectas dadas por un punto que esté fuera de la recta dada a la que le queremos construir su recta paralela, en este caso tenemos que el segmento de extremos B y C lo podemos considerar como dentro de la recta que pasa por los puntos B y C, entonces al construir la recta paralela a la recta que para por los puntos B y C, estamos a la vez construyendo la recta paralela al segmento de extremos B y C*.

Ahora bien, podemos elegir dos puntos D y E distintos de A que se encuentren en la recta que construimos como se muestra en la imagen. 

La finalidad de elegir estos puntos es para poder hacer referencia a los ángulos que la recta y los lados del triángulo nos determinan. Por otro lado tenemos que:

\(\angle EAC+\angle BAC+\angle DAB=180°\) (suman un ángulo llano).

Se tiene que:

\(\angle EAC=\angle ACB\)

por ser ángulos alterno-internos (teorema ya demostrado) y de manera análoga se tiene que:

\(\angle DAB=\angle ABC\)

teniendo en cuenta estas igualdades obtenemos que:

\(\angle ACB +\angle BAC+\angle ABC=180°\) (suman un ángulo llano)

que es lo que se buscaba demostrar.

\(\blacksquare\)

Ángulo exterior

Teorema (ángulo exterior). Dado \(\triangle ABC\) tenemos que la medida del ángulo externo, por cualquier vértice, es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes a él.

Demostración:

La demostración es análoga si consideramos el ángulo exterior por cualquiera de los tres vértices del triángulo ABC. 

Consideremos el ángulo interno, en el vértice C, del triángulo ABC y uno de sus ángulos suplementarios (pues tiene dos, hay que notarlo) C'. Este \(\angle C'\) es un ángulo externo al triángulo y podemos ver que: 

\(\angle C' +\angle C=180°\)...(1).

Por otra parte tenemos que:

\(\angle A+\angle B+\angle C\)=180°...(2) (por el teorema anterior).

De la ecuación (1) obtenemos que \(\angle C=180°-\angle C'\) y si esto lo sustituimos en la ecuación (2) obtenemos que:

\(\angle A+\angle B+180°-\angle C'=180°\).

De esta última ecuación podemos concluir que \( \angle A+\angle B=\angle C'\) y esto es lo que queríamos comprobar.

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros ángulos son agudos.

2. Demuestra que la suma de las medidas de dos ángulos cualesquiera, de un triángulo, es menor de lo que mide un ángulo llano.

3. Demuestra que los ángulos en la base de un triángulo isósceles, cualquiera, son agudos.

4. Utilizando el Teorema (ángulo exterior) demuestra que cualquier correspondencia LAA (lado, ángulo, ángulo) es una congruencia entre triángulos.

5. Utilizando el Teorema (ángulo exterior) demuestra que si se da una correspondencia entre dos triángulos rectángulos de tal manera que la hipotenusa y un cateto, del primer triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.

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