7. Teorema de Thales, introducción a semejanza

 La semejanza es una de las propiedades más importantes de la geometría euclidiana ya que de ésta se derivan muchos otros resultados que veremos en estas secciones.

El concepto de semejanza, según se dice, es análogo al de proporción en el álgebra y así como la proporcionalidad es fundamental en el álgebra, la semejanza es básica en la geometría plana euclidiana y en sus aplicaciones. 

Cuando estudiamos la parte de congruencia quedamos en que la idea intuitiva nos decía que dos figuras geométricas son congruentes si ambas tienen la misma forma y el mismo tamaño. En el caso de la semejanza intuitivamente hablaremos de figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

El Teorema de Thales

El Teorema de Thales es uno de los pilares de la geometría y lleva el nombre de Thales de Mileto, un matemático y filósofo griego que vivió en el siglo VI a. C. Thales es conocido como uno de los siete sabios de Grecia y es considerado uno de los primeros matemáticos en aplicar el razonamiento deductivo para obtener resultados geométricos. 

Thales es famoso por haber utilizado la geometría para resolver problemas prácticos, según se dice utilizó su teorema para medir la altura de las pirámides de Egipto, observando las sombras proyectadas por éstos objetos. En esta sección realizaremos la demostración de este teorema. Otro de los aspectos importantes sobre el Teorema de Thales es que relaciona la proporcionalidad con el paralelismo.

Teorema (de Thales). En cualquier triángulo un segmento que corta a dos lados distintos, del triángulo dado, es paralelo al tercer lado si y sólo si las medidas de los segmentos, del triángulo, que resultan del corte son proporcionales.

Demostración:

\(\Rightarrow\rfloor\)

Puesto que es un teorema que incluye doble implicación debemos realizar ambos caminos. Consideremos el triángulo ABC y \(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\) como lo indican las hipótesis del teorema, debemos comprobar que \(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\). 

Tracemos \(\overline{BE}\) y consideremos los triángulos ABE y ADE 

Vemos que éstos triángulos tienen la misma altura considerada desde el vértice E, \(h_{e}\).

Por una proposición que ya demostramos sabemos que si dos triángulos tienen una misma altura entonces la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases desde la que se levanta la altura en común, así tenemos que:

\(\frac{(ABE)}{(ADE)}=\frac{AB}{AD}\),

demanera similar podemos trazar \(\overline{DC}\) para considerar los triángulos ADC y ADE. Vemos que tienen la misma altura \(h_{d}\) considerada desde el vértice D. 

De esta manera, por el mismo resultado que ya mencionamos, se tiene que:

\(\frac{(ADC)}{(ADE)}=\frac{AC}{AE}\).

Por otra parte consideremos \(\overline{BE}\) y \(\overline{DC}\) y los triángulos DBE y DCE.

Luego sus respectivas alturas desde D y desde E. 

Se tiene, en este caso, que las alturas miden lo mismo pues al tenerse que \(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\) y como las alturas son perpendiculares a \(\overline{BC}\) entonces se forma un paralelogramo, que como vimos, en el que sabemos que sus lados opuestos son congruentes teniendo en cuenta este hecho vemos que:

(DBE)=(DCE).

También se tiene que (ABE)=(ADE)+(DBE)=(ADE)+(DCE)=(ADC), por lo tanto:

(ABE)=(ADC).

De esta última igualdad se desprende que:

\(\frac{AC}{AE}\frac{(ADC)}{(ADE)}=\frac{(ABE)}{(ADE)}=\frac{AB}{AD}\),

entonces

\(\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}\).

\(\Leftarrow\rfloor\)

Consideremos el triángulo ABC y \(\overline{DE}\) como se muestra en la imagen, 

no podemos suponer que \(\overline{DE}\) es paralelo a \(\overline{BC}\), sin embargo podemos construir la paralela a \(\overline{DE}\) que pasa por B y que corta a \(\overline{AC}\) en C' (¿porqué podemos construir esta recta?). 

De aquí podríamos realizar un desarrollo similar a como hicimos en la ida del teorema y podemos concluir que:

\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC'}{AE}\),

pero por hipótesis se tiene que:

\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\),

entonces \(\frac{AC'}{AE}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow AC'=AC\), la última igualdad significa que \(\overline{AC}\cong\overline{AC}\), lo que implica que C=C', por lo que podemos concluir que, en efecto, 

\(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\)

\(\blacksquare\)

Algo que conviene tomar en cuenta es considerar que:

\(AD+DB=AB\) y \(AE+EC=AC\)

luego, como hemos obtenido que: \(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\) (resumiendo extremadamente), entonces:

\(\frac{AB}{AD}\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow \frac{AD+DB}{AD}=\frac{AE+EC}{AE}\) (tomando en cuenta lo que dijimos al principio), pero:

\(\frac{AD+DB}{AD}=\frac{AE+EC}{AE}\Leftrightarrow\frac{AD}{AD}+\frac{DB}{AD}=\frac{AE}{AE}+\frac{EC}{AE}\), de donde:

\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}\). Es decir que la proporción que hay entre las rectas transversales, que las cortan, se conserva. De esta manera el resultado anterior también se puede escribir como:

\(\overline{DE}\parallel\overline{BC}\Leftrightarrow\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}\) (o \(\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}\) realizando una simple operación algebraica y claro, escrito de manera muy resumida).

Lo importante aquí es que se debe ser consiente de que se pueden utilizar estas dos formas para trabajar y de hecho, en geometría superior, comúnmente se utiliza la que más convenga sin que se haga mención alguna al respecto, como acabamos de hacer.

Tarea voluntaria

1. Considera \(\triangle ABC\) de tal manera que D es un punto sobre \(\overline{AB}\) y E un punto sobre \(\overline{AC}\), como en la imagen 

a) Si AB=12, AD=4 y AC=24, determina AE.

b) Si AC=15, AD=3 y AC=25, determina EC.

c) Si DB=AE, AD=4 y EC=9, determina AB.

2. Demuestra que en cualquier triángulo la bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en segmentos cuyas longitudes son proporcionales a los lados adyacentes a dicho ángulo.

3. Demuestra que si \(l_{1}\), \(l_{2}\) y \(l_{3}\) son tres rectas y \(t_{1}\), \(t_{2}\) son dos transversales, a éstas, entonces \(l_{1}\), \(l_{2}\) y \(l_{3}\) son paralelas si y sólo si las medidas de los segmentos determinados por \(l_{1}\), \(l_{2}\) y \(l_{3}\) y las transversales \(t_{1}\) y \(t_{2}\) son proporcionales.

Pista: En algunos textos a este resultado se le llama Segundo Teorema de Thales. El chiste no es ir a observar la demostración, sino realizarla uno mismo y comprenderla. También comprender porque tiene sentido que se le dé ese nombre.

Cuestionario de evaluación

Cuestionario 6

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