Una construcción geométrica, que es básica, es la referente al punto medio de un segmento. Por otro lado cabe hacer hincapié que aquí sólo se da la idea que podría uno seguir para realizar la construcción que se pide. Para realizar correctamente el ejercicio es necesario comprender que tenemos que hacer dos cosas.
1. Construir la figura geométrica solicitada.
2. Demostrar que la figura construida, en el punto 1, es la que se pide.
Ejemplo. Considera \(\overline{AB}\) y construye su punto medio.
Solución:
1. Construcción de la figura geométrica solicitada.
Construir lo que se nos pide es construir el punto medio del segmento cuyos extremos son A y B.
Veremos una manera de realizarlo (puede haber otras).
\(\bullet\) Trazamos una circunferencia de centro en A y radio AB, luego podemos, también, trazar otra circunferencia de centro en B y radio AB, éstas circunferencias las podemos trazar porque nos es permitido por la propiedad del compás y esta justificada, ésta acción, por el tercer axioma. 
nombramos como C y D a los puntos donde las circunferencias se intersecan y trazamos \(\overline{CD}\). 
El punto donde \(\overline{CD}\) corta a \(\overline{AB}\) le llamamos W y trazamos \(\overline{AC}\), \(\overline{BC}\), \(\overline{AD}\), \(\overline{BD}\) 
Hasta aquí sólo hemos construido el objeto que se nos ha pedido. Para completar el ejercicio debemos demostrar que lo que hemos construido es el objeto solicitado.
2. Demostración:
Notemos que se nos han formado varios triángulos. Podemos considerar, por ejemplo, a \(\triangle BCD\) y \(\triangle ACD\), se tiene que CB=AC ya que \(\overline{CB}\) y \(\overline{AC}\) son radios de circunferencias que tienen, justamente, el mismo radio. Análogamente AD=BD y \(\overline{CD}\) es común en estos triángulos, por lo que
\(\triangle BCD\cong\triangle ACD\)
utilizando el criterio de congruencia LLL. Luego, debido a ésta congruencia obtenemos que
\(\angle BCD=\angle ACD\) y \(\angle CDB=\angle CDA\).
Por otra parte podemos considerar a los triángulos CWB y CAW, se tiene que CB=AC y \(\overline{CW}\) es un lado común en éstos triángulos, además tenemos que \(\angle BCD=\angle ACD\), así que por el criterio LAL se tiene que
\(\triangle CWB\cong \triangle CAW\).
Dde esta congruencia resulta que AW=WB, es decir que W es el punto medio de \(\overline{AB}\).
\(\blacksquare\)
Tarea voluntaria
1. Determina al menos otra manera, diferente a la vista en esta entrada, de construir el punto medio de un segmento dado.
2. En vídeos en línea circula mucho una "construcción geométrica" del punto medio que es errónea. Más o menos va así:
Dado el segmento AB. Con centro en A y una cierta abertura, que sobrepase la mitad del segmento, trazamos una circunferencia, luego, con centro en B trazamos una circunferencia con el mismo radio. Éstas circunferencias se intersecaran en dos puntos y obtendremos una imagen similar a la que se muestra. 
En adelante es sólo demostrar que los triángulos CAW y CWB son congruentes y básicamente estaría, según esto, resuelto el ejercicio.
En adelante es sólo demostrar que los triángulos CAW y CWB son congruentes y básicamente estaría, según esto, resuelto el ejercicio.
La tarea consiste en reflexionar y redactar detalladamente porqué es un completo error esta "construcción".
3. Dados tres segmentos distintos construye un triángulo que los tiene como lados. Determina bajo que condiciones el triángulo se puede o no construir.
4. Construye dos triángulos que tengan dos lados iguales y un ángulo igual y que estos triángulos resulten no ser congruentes.
Enlaces
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