5.3. Propiedades del área

 Básicamente el área de cualquier región poligonal se puede calcular como hemos visto y para esto debemos considerar las propiedades que tiene el área.

1) La medida del área de una región plana es un número real positivo o cero.

2. Dos regiones que son congruentes tendrán la misma medida en área.

3) La medida del área de una región es mayor o igual que la medida del área de cualquier región que contenga.

4) La medida del área de la unión de dos regiones ajenas es la suma de las medidas de las áreas de estas regiones.

Para tener un ejemplo más concreto de cómo se utilizan estas propiedades, del área, veremos algunos ejemplos.

Definición. Un paralelogramo ABCD es una figura geométrica que tiene sus lados opuestos paralelos. 

Observación. Si ABCD es un paralelogramo entonces sus lados opuestos son congruentes, es decir que miden lo mismo.

Demostración:

Consideremos un paralelogramo ABCD 

y tracemos \(\overline{BD}\) (o \(\overline{AC}\), el procedimiento es análogo), 

consideremos los triángulos ABD y BCD, se tiene que \(\overline{BD}\) es común para los dos triángulos, por otra parte

\(\angle ABD=\angle BDC\) ya que \(\overline{AB}\parallel \overline{CD}\) y \(\overline{BD}\) resulta ser una transversal, de manera análoga se tiene que: \(\angle ADC=\angle DBC\), así que utilizando el crieterio de congruencia ALA podemos concluir que:

\(\triangle ABD\cong \triangle BCD\),

de esta congruencia obtenemos que: AB=DC y AD=BC, que es lo que queríamos.

\(\blacksquare\)

Ejemplo. Encuentra el área de un paralelogramo, menciona puntualmente las propiedades del área que se utilizan. 

En primer lugar tengamos en cuenta que ya sabemos cómo trazar rectas perpendiculares, entonces tracemos la perpendicular a \(\overline{BC}\) que pase por C, esta cortará a \(\overline{AD}\) en un punto F, luego prolonguemos \(\overline{AD}\) y tracemos la perpendicular a ésta que pase por el punto B (construcción que ya podemos hacer por lo visto en la parte de construcciones geométricas). Así se nos forma el rectángulo EBCF.

Por otra parte considreremos los triángulos EBA y FCD. Por las Observación anterior tenemos que AB=CD, también tenemos que \(\angle CFD=90°=\angle BEA\), \(\angle EAB=\angle FDC\) porque son ángulos correspondientes ya que \(\overline{AB}\parallel\overline{DC}\) y \(\overline{ED}\) es transversal, esto nos dice que \(\angle EBA=\angle FCD\), entonces sin perder de vista que estamos considerando los triángulos EBA y FCD vemos que éstos tienen el lado correspondiente \(\overline{AB}\) y \(\overline{CD}\) congruente y los ángulos correspondientes EAB y FDC que miden lo mismo, al igual que los ángulos EBA y FCD, por lo que podemos aplicar el criterio de congruencia ALA para concluir que:

\(\triangle EBA\cong\triangle FCD\).

En esta parte ya sólo aplicaremos las propiedades del área para terminar el ejercicio.

1. Tenemos que (ABCD)=(ABCF)+(FCD)...(por la propiedad del área 4).

2. Luego (FCD)=(EBA)...(por la propiedad del área 2).

3. Entonces (ABCD)=(ABCF)+(EBA)=(EBCF)...(por la propiedad 4).

4. (EBCF)=BC\(\cdot\)EB.

\(\blacktriangle\)

Tarea voluntaria

1. Determina el área del triángulo, para realizarlo desarrolla un método como el que se presentó en esta entrada, en que realices ciertas construcciones y utilices las propiedades del área para llegar al resultado final y la fórmula.

2. En forma análoga establece la fórmula para cada una de las siguientes figuras:

a) El rombo.

b) El trapecio.

c) El pentágono regular.

Enlaces 

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