En la sección 2.7 hablamos sobre ángulos de tres rectas en el plano, ahora trabajaremos con rectas paralelas, el cual es un caso especial de tres rectas que se intersecan en el plano.
Teorema 1. Si \(l_{1}\), \(l_{2}\) son dos rectas distintas tales que \(l_{1}\parallel l_{2}\) y \(l_{3}\) es transversal entonces la suma de las medidas de los ángulos internos que se encuentran, del mismo lado, de la transversal, es 180°
Demostración:
Podemos considerar las tres rectas como en la siguiente imagen:
y denotar los ángulos, que forman, como se muestra. Tomando la hipótesis que nos indica el teorema consideramos a \(l_{1}\) paralela con \(l_{2}\). Luego, para realizar la demostración podemos comprobar que:
\(a_{3}+a_{4}\)=180° .
Supongamos que:
\(a_{4}+a_{6}\neq 180°\), entonces por tricotomía tenemos:
Caso 1: \(a_{4}+a_{6}<180°\).
El Axioma 5 nos dice que si la suma de las medidas de los ángulos del mismo lado de la transversal es menor de lo que miden dos ángulos rectos, es decir, menos de 180°, entonces las rectas se intersecan justamente del lado de donde se encuentran estos ángulos, como en este caso, tenemos que:
\(a_{4}+a_{6}<180°\)
entonces:
\(l_{1}\nparallel l_{2}\),
lo cual contradice nuestra hipótesis, pues \(l_{1}\parallel l_{2}\), por lo tanto descartamos este caso.
Caso 2: \(a_{4}+a_{6} >180°\).
Tenemos que \(a_{4}+a_{6}>180°\). Por otra parte
\(a_{3}+a_{4}=180°\) y \(a_{5}+a_{6}=180°\), entonces:
\(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=360°\).
De donde:
\(a_{3}+a_{5}=360°-(a_{4}+a_{6})\) y puesto que estamos suponiendo que \(a_{4}+a_{6}>180°\),
entonces:
\(a_{3}+a_{5}<180°\).
De nuevo por el Axioma 5 tendríamos que \(l_{1}\) y \(l_{2}\) se deberían intersecar del lado de donde se encuentran \(a_{3}\) y \(a_{5}\), de decir que:
\(l_{1}\nparallel l_{2}\), lo que contradice nuestra hipótesis y también debemos descartar este caso.
Puesto que en ambos casos llegamos a una contradicción debemos descartar los dos, es así que nuestra única posibilidad es:
\(a_{4}+a_{6}=180°\)
\(\blacksquare\)
Teorema 2. Si \(l\) es una recta y P un punto fuera de ella entonces existe una única recta que pasa por P y que es paralela a l.
Demostración:
Supongamos que existen dos rectas m, n que pasan por el punto P y que son paralelas a l. Luego tracemos la transversal l que pase por P,
como \(m\parallel n\) se tiene que:
\(a_{2}+a_{3}=180°\) por el Teorema 1 y
análogamente \(a_{1}+a_{3}=180°\) también por el Teorema 1, entonces:
\(a_{2}+a_{3}=a_{1}+a_{3}\), de donde
\(a_{2}=a_{1}\),
lo cual implica que m coincide con n, es decir que son la misma recta.
\(\blacksquare\)
Tarea voluntaria
1. Investiga si existen otros resultados, relativos a rectas paralelas, que puedan ser demostrados utilizando el axioma 5.
2. Si en el inciso anterior encontraste más proposiciones, que tienen que ver con paralelas, demuéstralas aplicando el axioma 5.
3. ¿Es posible proponer, las proposiciones que encontraste, como axioma y demostrar el axioma 5?
4. Demuestra que el Teorema 1 es equivalente al axioma 5.
5. Demuestra que el Teorema 2 es equivalente al axioma 5.
6. Demuestra o da un contraejemplo de lo siguiente: Si \(l_{1}\parallel l_{2}\) entonces cualesquiera dos segmentos que se encuentren entre \(l_{1}\) y \(l_{2}\), que sean perpendiculares a \(l_{1}\) y \(l_{2}\) son congruentes.
Cuestionario de evaluación
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