En esta sección mostraremos como replicar un ángulo dado.
Ejemplo. Dado \(\angle ABC \), trazar un ángulo igual en otra parte del plano.
Solución:
1. En primer lugar construiremos la figura que no es solicitada. Consideremos una recta l, en algún lugar distinto del que se encuentra el ángulo dado. Puesto que una recta está conformada por una cantidad infinita de puntos entonces podemos elegir algún punto D en l.
Con centro en D trazamos una circunferencia del mismo radio r, ésta corta a l en un punto que llamaremos l.
Trazamos \(\overline{GH}\)
Trazamos una circunferencia con cetro en I y radio GH, ésta corta a la circunferencia de centro en D y radio r en dos puntos J y K, podemos elegir cualesquiera de éstos puntos, digamos J y trazar \(\overline{DJ}\).
Ya hemos terminado la construcción, sin embargo el ejercicio no está completo. Para terminar el ejercicio debemos realizar la demostración correspondiente y comprobar que, en efecto, construimos lo que se nos pide.
Demostración:
Para realizar la demostración consideramos los triángulos GBH y JDI, pues se tiene que BG=DJ ya que la circunferencia de centro en B y radio r es igual a la circunferencia de centro en D y radio r, es decir, tienen el mismo radio. Análogamente se tiene que BG=DK y GH=IJ porque la circunferencia de centro en I tiene radio GH, así que estos dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes congruentes, por lo que podemos utilizar el criterio de congruencia LLL, para concluir que los triángulos son congruentes, de esta congruencia, entre los triángulos, concluimos que sus ángulos correspondientes son congruentes (o que miden lo mismo) en particular se tiene que:
\(\angle GBH=\angle JDI\).
\(\blacksquare\)
Con esta demostración concluida podemos dar por terminado el ejercicio.
Por las construcciones que acabamos de realizar, tanto del punto medio, como de replicar un ángulo dado podemos, de ahora en adelante, encontrar el punto medio de cualquier segmento y trasladar o copiar cualquier ángulo dado.
Cabe hacer hincapié en que este es uno de los métodos correctos que se deben realizar siempre que se tengan que hacer ejercicios o problemas que tengan que ver con demostraciones. Por otra parte también debemos tener en cuenta que una vez que se realiza una construcción entonces, más adelante, será utilizada sin que se tenga que repetir. Sólo mencionar que ya se realizó.
Abajo se proponen algunas construcciones geométricas como ejercicio al lector, es una buena oportunidad para practicar las habilidades adquiridas o tratar de desarrollarlas, se pueden hacer mediante el método que hemos ejemplificado con las construcciones previas.
Tarea voluntaria
Las construcciones geométricas siguientes se dejan como ejercicio y en adelante se considerarán como ya realizadas, por lo que se utilizarán, si se da el caso, durante las demostraciones siguientes.
1. Trasladar un segmento dado.
2. Construir la bisectriz de una ángulo dado.
3. Trazar la recta perpendicular a una recta dada l que para pon un punto A que no pertenece a l.
4. Trazar la recta perpendicular a una recta dad l que pase por un punto dado A que pertenezca a l.
Enlaces
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