La desigualdad del triángulo es una de las propiedades más importantes. Para demostrarla primero demostraremos dos resultados previos, a resultados previos que nos ayudan a comprobar un resultado mayor les llamamos lemas.
Lema 1. Si ABC es un triángulo isósceles entonces los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.
Demostración:
Consideremos el triángulo ABC tal que AB=AC.
\(\triangle ADC\cong\triangle ABE\).
Consideremos también los triángulo BDC y BEC, éstos comparten el lado \(\overline{BC}\), BE=DC (por la congruencia entre ADC y ABE) y como \(\overline{AD}\cong\overline{AE}\) entonces BD=EC (porque AB+BD=AD=AE=AC+EC, pero AB=AC por hipótesis, así que basta con hacer la cancelación algebraica correspondiente para que nos quede BD=EC), debido a que estos dos triángulos tiene tres lados correspondientes congruentes entonces podemos concluir que
\(\triangle BDC\cong\triangle BEC\).
Por otra parte sabemos que \(\angle ABE=\angle ABC+\angle CBE\) y \(\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD\) y \(\angle ABE=\angle ACD\) por la congruencia entre los triángulos ADC y ABE, entonces:
\(\angle ABC+\angle CBE=\angle ACB+\angle BCD\),
pero \(\angle CBE=\angle BCD\) por la congruencia entre \(\triangle BDC\) y \(\triangle BEC\), por lo tanto:
\(\angle ABC=\angle ACB\).
\(\blacksquare\)
Lema 2. Si ABC es un triángulo cualquiera, entonces \(AB>AC\) si y sólo si \(\angle ACB>\angle ABC\).
Demostración:
En esta demostración podemos utilizar varias de las herramientas de construcción que ya hemos definido y notar que es una aplicación de ellas.
\(\Rightarrow\rfloor\)
Dadas las hipótesis del lema podemos considerar el triángulo ABC tal que \(AB>AC\). Entonces con cenro en A y radio AB podemos trazar C(A, AB)
luego prolongamos \(\overline{AC}\) hasta que interseque a la circunferencia, anterior, en el punto D y trazamos \(\overline{BD}\).
De esta manera tenemos construido el triángulo isósceles ABD, pues \(\overline{AB}\) es congruentes con \(\overline{AD}\) ya que ambos son radios de la circunferencia y por lo tanto miden lo mismo. Podemos ver que:
\(\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD\),
entonces \(\angle ABD>\angle ABC\) y \(\angle ABD>\angle CBD\). Por otra parte debemos tener en cuenta que \(\angle ACB\) es un ángulo exterior de \(\angle CBD\), entonces:
\(\angle ACB=\angle ADB+\angle CBD\)
pero se tiene que \(\angle ADB+\angle CBD>\angle ADB\), así que \(\angle ACB>\angle ADB\). Por otro lado se tiene que \(\triangle ABD\) es isósceles (pues AB=AD) entonces:
\(\angle ABD=\angle ADB\) (por el Lema 1)
por lo que podemos concluir: \(\angle ACB>\angle ADB\>\angle ABC\), y por transitividad tenemos que:
\(\angle ACB>\angle ABC\).
\(\Leftarrow\rfloor\)
Dado el triángulo ABC se tiene por hipótesis que \(\angle ACB>\angle ABC\), entonces podemos considerar sólo tres casos posibles:
a) Los lados opuestos a los ángulos dados cumplen que AB=AC.
b) Los lados opuestos a los ángulos dados cumplen que AC>AB.
c) Los lados opuestos a los ángulos dados cumplen que AB>AC.
Caso a) Los lados opuestos a los ángulos dados cumplen que AB=AC.
Si este es el caso entonces se tendría que los ángulos opuestos a éstos lados deben ser congruentes. Como los ángulos opuestos a estos lados son: ABC y ACB entonces concluiríamos que:
\(\angle ACB=\angle ABC\) por el Lema 1,
lo cual contradice nuestra hipótesis pues tenemos que \(\angle ACB>\angle ABC\). La contradicción surgió de suponer que AB=AC, entonces debemos descartar este caso.
Caso b) Los lados opuestos a los ángulos dados cumplen que AC>AB.
Si este es el caso podemos realizar una construcción análoga a la construcción anterior, prolongando el lado de extremos AB del triángulo y conformar el triángulo isósceles ADC como se muestra en la imagen.
De esta manera, siguiendo un proceso similar al anterior, obtendremos que:
\(\angle ACB<\angle ABC \),
lo cual de nueva cuenta vuelve a contradecir nuestra hipótesis, entonces debemos descartar también este caso.
c) Los lados opuestos a los ángulos dados cumplen que AB>AC.
Este es el único caso posible, lo cual implica que el Lema 2 queda demostrado.
\(\blacksquare\)
Tarea voluntaria
1. Demuestra que si ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.
2. Demuestra que si un triángulo tiene sus tres ángulos congruentes entonces es equilátero.
3. Demuestra que la bisectriz del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles biseca y es perpendicular a la base.
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