Debido a que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180° entonces podemos dar otro criterio de semejanza. En realidad se deduce muy fácilmente del criterio AAA.
Criterio de semejanza AA. Si dos ángulos internos de un triángulo son congruentes a los dos ángulos internos de otro triángulo entonces los triángulos considerados son semejantes.
Demostración:
En cualquier triángulo se tiene que la suma de las medidas de sus ángulos internos es 180°, así si tenemos dos triángulos ABC y DEF tales que tienen dos ángulos correspondientes congruentes (es decir que miden lo mismo), por ejemplo \(\angle ABC=\angle DEF\) y \(\angle BAC=\angle EDF\) entonces como:
\(\angle ABC+\angle BCA+\angle BAC=180°\) (en el triángulo ABC) y
\(\angle DEF+\angle EFD+\angle EDA=180°\) (en el triángulo DEF)
se tiene que:
\(\angle ABC+\angle BCA+\angle BAC=180°=\angle DEF+\angle EFD+\angle EDF\),
pero por nuestras hipótesis nos queda como:
\(\angle BCA=\angle EFD\),
y así obtenemos que todos sus ángulos correspondientes son congruentes, con lo que aplicando el Criterio de semejanza AAA obtenemos que los dos triángulos dados son semejantes.
\(\blacksquare\)
Tarea voluntaria
1. Considera \(\square ABCD\), una recta \(l\) que pasa por B e interseca a \(\overline{AC}\) en E, a \(\overline{DC}\) en G y a la diagonal \(\overline{AD}\) en F. Demuestra que \(\triangle AEF\sim \triangle CEB\).
Enlaces
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