Ya vimos dos resultados importantes sobre rectas paralelas. En esta sección veremos dos resultados más que serán de importancia.
Teorema 3. Si \(l_{1}\), \(l_{2}\) son dos rectas distintas tales que \(l_{3}\) es transversal a éstas y si la suma de las medidas de los ángulos internos del mismo lado de la transversal es 180° entonces \(l_{1}\parallel l_{2}\).
Demostración:
\(a_{1}+a_{3}=180°\),
por el Teorema 1, por otra parte sabemos que:
\(a_{1}+a_{3}=a_{2}+a_{3}\), pues \(a_{2}+a_{3}=180°\) por hipótesis,
por lo tanto:
\(a_{1}=a_{2}\),
de donde obtenemos que \(l_{4}\) coincide con \(l_{2}\) y de esta manera podemos concluir que \(l_{2}\parallel l_{1}\).
\(\blacksquare\)
El siguiente es un teorema que como proposición tiene la forma de una doble implicación y como, coloquialmente se dice, debemos realizar la ida y la vuelta.
Teorema 4. Si \(l_{1}\) y \(l_{2}\) son dos rectas distintas y \(l_{3}\) es una transversal a ellas, entonces \(l_{1}\parallel l_{2}\) si y sólo si cualquier par de ángulos alterno-internos es congruente (es decir que miden lo mismo).
Demostración:
\(\Rightarrow\rfloor\)
Se tiene que demostrar que cualquier par de ángulo alterno-internos es congruente partiendo de que las rectas \(l_{1}\) y \(l_{2}\) son paralelas. La demostración se puede realizar, con cualquier pareja de ángulos.
Consideremos los ángulos \(a_{3}\) y \(a_{6}\), puesto que se comprende que los razonamientos para cualquier pareja es similar entonces podemos decir: sin pérdida de generalidad (S. P. G.) elegimos a \(a_{3}\) y \(a_{6}\), verifiquemos que son congruentes. Se tiene que:
\(a_{4}+a_{6}=180°\), pues \(l_{1}\parallel l_{2}\) y aplicamos el Teorema 1, luego:
\(a_{3}+a_{4}=180°\), entonces:
\(a_{4}+a_{6}=a_{3}+a_{4}\), de donde:
\(a_{6}=a_{3}\).
\(\Leftarrow\rfloor\)
Ahora debemos demostrar que \(l_{1}\parallel l_{2}\) partiendo de que cualquier par de ángulos alterno-internos es congruente. En base al Teorema 2 podemos considerar la paralela \(l_{4}\) a \(l_{1}\) que pase por el punto P (el punto donde \(l_{3}\) corta a l_{2}\)).
Entonces por el Teorema 1 tenemos que \(a'_{4}+a_{6}=180°\), por otra parte \(a_{3}+a_{4}=180°\), entonces:
\(a'_{4}+a_{6}=a_{3}+a_{4}\),
pero se tiene que \(a_{6}=a_{3}\) por hipótesis (al ser ángulos alterno-internos), entonces
\(a'_{4}=a_{4}\).
De esta manera podemos concluir que \(l_{4}\) coincide con \(l_{2}\), por lo que \(l_{2}\parallel l_{4}\).
\(\blacksquare\)
Tarea voluntaria
1. Reflexiona si el Teorema 3 es equivalente al axioma 5 y de ser así, demuéstralo.
2. Reflexiona si el Teorema 4 es equivalente al axioma 5 y de ser así, demuéstralo.
3. ¿Estos teoremas son equivalentes a los teoremas 1 y 2 vistos en la entrada anterior? De ser así demuéstralo.
4. ¿Qué sucede con la geometría plana si se omite el axioma 5? Escribe tus conclusiones con detalle.
Enlaces
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