Es necesario familiarizarse con las construcciones geométricas ya que son la parte fundamental de las demostraciones en geometría plana euclidiana además de que desarrollan nuestra creatividad, inventiva e intuición, entre otras cosas. Por lo mencionado anteriormente, podemos decir que las construcciones geométricas son una de las partes más importantes de la geometría plana. El desarrollo intuitivo que podemos obtener del estudio de las construcciones geométricas nos será de utilidad no sólo en geometría sino también en diversas áreas de las matemáticas, por lo que es necesario realizar muchos ejercicios. Las demostraciones que se realizan, en geometría moderna, se desarrollan en base a las construcciones geométricas.
A grandes rasgos una construcción geométrica es un ejercicio de trazo en el que se debe realizar una figura geométrica que cumpla con ciertas condiciones específicas determinadas desde un principio y de elementos geométricos ya dados, como: puntos, rectas, segmentos, etc., se deben derivar otros teniendo en cuenta las siguientes reglas:
1. Sólo deben utilizarse ciertas herramientas bien determinadas: es decir de qué manera funcionarán estás herramientas, bajo qué criterios.
2. Cada una de las herramientas dadas puede utilizarse de una manera previamente determinada.
3. La construcción se debe terminar en un número finito de pasos.
Las herramientas que utilizaremos para realizar nuestras construcciones geométricas serán la regla y el compás, aunque aquí hay que tener en cuenta que no son del todo la regla y el compás habituales de la educación básica, no del todo pero si nos dan una idea de éstas herramientas. Veremos una breve descripción de estas herramientas.
Herramientas permitidas para realizar las construcciones geométricas
La regla (o propiedad de la regla)
A grandes rasgos la regla no es otra cosa que sólo nuestra habilidad de trazar rectas, eso si, recordando que ésta se encuentra sujeta a los 5 axiomas principales que dimos en la sección de Preliminares. Es decir que por dos puntos pasa un única recta y esta siempre puede trazarse con nuestra regla ideal, es ideal porque nos permitirá considerar a las rectas infinitas siempre, aunque nuestras limitaciones físicas no nos permitan trazarlas más allá de una hoja o del pizarrón. Esta regla no tiene graduaciones ni marcas.
En compás (o propiedad del compás)
El compás no es otra cosa que nuestra habilidad de trazar circunferencias con cualquier centro y con cualquier radio, es ideal porque de igual manera no consideramos límites en cuanto al radio que podamos tomar. Este compás se cierra al levantarlo del papel, es decir que no nos permite trasladar distancias. También se conoce como compás rígido o euclidiano.
*Aunque aún no hemos determinado de manera precisa las construcciones geométricas, vale la pena hablar de el compás euclidiano y el compás moderno, mediante una pequeña reflexión, pues pareciera en principio más restrictivo, el compás euclidiano, no lo es pues es posible trasladar distancias, con él, aunque por un procedimiento más largo (podemos verlo en la imagen)
debido a esto, podremos trasladar distancias como si se tratara de un compás moderno*.
Las dos propiedades de la regla y el compás las utilizaremos para realizar todas las construcciones necesarias en adelante.
Consideraciones sobre las construcciones geométricas
Ya que hemos descrito las herramientas que utilizaremos para realizar construcciones geométricas así como su funcionamiento, es necesario decir que no es conveniente utilizar éstas herramientas bajo más reglas o consideraciones (más que bajo los axiomas y conceptos dados hasta el momento) pues de lo que se trata es de desarrollar la creatividad e inventiva en la tarea de realizar construcciones geométricas.
Tarea voluntaria
1. Investiga sobre las construcciones geométricas.
2. Reflexiona a detalle como trasladar un segmento tomando en cuenta el hecho de que el compás se cierra al despegarlo del papel.
3. ¿Se generarían geometrías diferentes si permitimos que el compás traslade distancias desde el principio?
4. ¿Porqué crees que las construcciones geométricas son la base de la geometría euclidiana?
Cuestionario de evaluación
Enlaces
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