3. Polígonos

 Polígonos

El concepto de congruencia, al igual que el de semejanza que veremos más adelante, es uno de los más importantes en geometría plana y puesto que el triángulo es la figura básica por excelencia (pues a partir de ésta se trabajan las demás) trabajaremos éste concepto comenzando por los triángulos.

En primer lugar conviene tener la idea clara de polígono.

Definición. Una línea conformada por segmentos de recta no colineales se llama línea quebrada. 

Notemos que la línea quebrada está conformada por puntos en los que se unen los segmentos, a estos puntos les llamaremos vértices y a los segmentos les llamaremos lados. Entonces podemos dar la siguiente definición.

Definición. Un polígono es una línea quebrada cuyos extremos coinciden y además está conformada por un número finito de lados que será igual al número de vértices. En las siguientes imágenes podemos ver diferentes ejemplos de polígonos. 

Es de particular importancia distinguir entre los vértices del polígono y los cruces de los segmentos de recta que conforman el polígono, pues tales cruces no se consideran como vértices, forzosamente un vértice debe unir dos lados del polígono. También pediremos que no haya tres vértices, consecutivos, colineales. Teniendo en cuenta esto en las siguientes imágenes podemos ver ejemplos de figuras que no son polígonos. 

Definición. Se llama perímetro, de un polígono, a la longitud de la línea quebrada que conforma el polígono.

Esto no es otra cosa que la suma de las longitudes de los segmentos que forman el polígono. En la práctica a veces es necesario denotar o nombrar diversos elementos que conforman a los polígonos para poder trabajar con ellos y para lograr una notación efectiva se puede llevar un orden. En ocasiones se conviene en denotar a los vértices, de un polígono, de la manera cíclica, puede ser de forma horaria o anti-horaria, además se pide (siempre) que no existan tres vértices seguidos que sean colineales y que los vértices unan lados consecutivos. 

Debemos comentar que no es obligatorio denotar los vértices de los polígonos en orden y en sentido anti-horario u horario, si no se tienen consideraciones adicionales (como los segmentos con dirección) se pueden denotar sin un orden específico y con cualquier símbolo. 

Antes de estudiar los conceptos siguientes debemos darnos cuenta que existen dos tipos de polígonos, uno en el que puede que se intersequen sus lados y otro en el que sus lados no se intersequen, como vemos en la imagen de abajo. 

Generalmente, en este blog, consideraremos polígonos en los que sus lados no se intersequen, a menos que se indique lo contrario. Entonces hay que tener en cuenta que si un polígono tiene lados que no se intersequen éste divide al plano, en el que está contenido, en dos regiones, una finita y otra infinita. 

Definición. La superficie de un polígono, cuyos lados no se intersequen, es la región finita que se encuentra acotada por los lados del polígono. 

Sabemos que existen diferentes tipos de polígonos, una forma de clasificarlos es a través del número de sus lados. Así que tengamos en cuenta la definición siguiente.

Definición. Un n-ágono es un polígono con n lados y n vértices.

Partiendo de esta definición, decimos para n=5, pentágono, para n=6, hexágono, para n=7, heptágono, etc. En el caso de n=3 decimos triángulo y en el caso de n=4 cuadrángulo o cuadrilátero, ya que ambos son casos básicos y especiales.

Ya vimos que se puede avanzar de dos maneras distintas al considerar los vértices de un polígono, esto nos da dos caminos para recorrer un polígono, un camino es en el sentido anti-horario otro es en el sentido horario, de esta forma se pueden determinar, de dos manera, los ángulos internos y externos de un polígono. 

Si recorremos un polígono, en el sentido horario, los ángulos que se encuentran a la derecha son los ángulos interiores y los suplementarios a éstos serán los ángulos exteriores.

Es necesario tener en cuenta que se puede seguir cualquier sentido a la hora de determinar los vértices pero siempre siguiendo un orden, por otra parte el orden que se suele seguir cuando no se hace alguna indicación es en el sentido anti-horario. Hay algunos otros elementos que debemos considerar que forman parte de los conceptos básicos sobre los polígonos, como el que sigue.

Definición. Una diagonal de un polígono es una recta, dentro del polígono, que une dos vértices no consecutivos. 

Definición. Un polígono convexo es aquel en el que todas sus diagonales se quedan dentro de él.

Definición. Un polígono cóncavo es aquel que tiene al menos una diagonal exterior.

También podemos determinar un polígono convexo porque todos sus ángulos interiores medirán menos de un ángulo llano en contraste en un polígono convexo al menos uno de sus ángulos interiores medirá más de un ángulo llano.

Tarea voluntaria

1. Partiendo del hecho de que la suma de las medidas de los ángulos interiores, de cualquier triángulo, es 180° (un ángulo llano) demuestra, utilizando inducción, que la suma de los ángulos interiores de cualquier n-ágono, cuyos lados no se intersequen, es igual a 180°(n-2).

2. Determina el número de diagonales necesarias para dividir un n-ágono en triángulos si éstas no se cruzan.

3. Demuestra, mediante inducción, que la regla que permite determinar el número P(n) de modos de dividir un n-ágono convexo, en triángulos mediante diagonales que no se cruzan, es:

\(P(n)=\frac{2(2n-5)!}{(n-1)!(n-3)!}\)

4. ¿En cuántas partes dividen un n-ágono convexo todas sus diagonales si no hay tres que se crucen en un mismo punto?

5. Demuestra que es posible dividir n cuadrados dados en trozos que permitan formar un cuadrado nuevo.

Enlaces

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