5. Área de regiones planas

 Podemos considerar diferentes tipos de regiones, sin embargo para tener determinado de manera precisa el tipo de objeto matemático que llamaremos región consideraremos las siguientes definiciones.

Definición.  Llamaremos región triangular al interior de un triángulo junto con los lados que lo conforman. 

Luego:

Definición. Una región poligonal es la unión de un número finito de regiones triangulares de tal manera que su intersección es un segmento o es un punto. 

Las definiciones anteriores son necesarias para determinar el concepto de área en el plano euclidiano.

Definición. Dada una región poligonal en el plano, la medida de ésta región se llamará su área.

Para determinar el área de regiones poligonales desarrollaremos el siguiente método:

a) Consideremos \(\overline{AB}\), un segmento cualquiera, cuya longitud es AB. 

b) Construyamos un cuadrado que tenga de lado longitud AB. 

El cuadrado que conformamos es nuestra unidad de medida que llamaremos u y entonces podemos dar la siguiente:

Definición. El área de la región interior de un rectángulo PQRS, con respecto a la unidad u=AB\(\cdot\)AB es el producto QR\(\times\)RS en donde QR y RS son las longitudes de los lados del rectángulo. 

En esta situación el cuadrado u es la unidad de área. 

Para concretar las ideas que hasta aquí hemos desarrollado, podemos considerar un ejemplo particular.

Ejemplo. Consideremos el rectángulo PQRS. 

Tenemos que la longitud del segmento QR es 5 con respecto a AB, mientras que la longitud de RS es 4 respecto de AB, su área, por definición es 5\(\times\)4=20 unidades u (o también podemos decir que es 20 respecto a u). Notemos que este número nos indica el número de cuadrados congruentes con u que caben dentro del rectángulo PQRS.

\(\blacktriangle\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de las medidas de sus catetos.

2. En base al ejercicio anterior determina el área de cualquier triángulo, demuestra cualquier resultado que obtengas.

3. Determina el área de cualquier polígono convexo.

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