Ya comentamos que generalmente consideraremos polígonos en los que sus lados no se intersequen, luego en la geometría plana euclidiana se considera a los triángulos como la forma más básica de figuras geométricas y éstos, a su vez, se pueden clasificar de diferentes maneras, como veremos.
Clasificación de triángulos mediante sus lados
1. Triángulo escaleno. Es aquel triángulo en el que todos sus lados tienen diferentes medidas, en el uso común se suele decir que sus lados son distintos.
2. Triángulo isósceles. Es aquel triángulo en el que al menos dos de sus lados miden lo mismo, se suele decir que tiene al menos dos lados iguales.
3. Triángulo equilátero. Es aquel triángulo en el que todos sus lados miden lo mismo, se suele decir que todos sus lados son iguales.
Clasificación de triángulos mediante sus ángulos
1. Triángulo rectángulo. Es aquel que tiene un ángulo recto.
2. Triángulo acutángulo. Es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.
3. Triángulo obtusángulo. Es aquel que tiene un ángulo obtuso.
Si reflexionamos podemos darnos cuenta que un triángulo puede estar en más de una categoría. Por ejemplo un triángulo rectángulo puede ser escaleno o isósceles, al igual que sucede con un triángulo obtusángulo y con un triángulo acutángulo, pero, por ejemplo, un triángulo equilátero sólo puede ser acutángulo.
Notación para las figuras geométricas
Al trabajar en geometría es necesario nombrar las figuras geométricas para desarrollar la teoría de la mejor manera, como en la mayor parte de las matemáticas. Ya vimos notación para segmentos, rectas, ángulos, puntos y circunferencias. En el caso de los triángulos, si tenemos al triángulo cuyos vértices son A, B y C, lo denotaremos por:
\(\triangle ABC\)
y escribiremos o denotaremos los vértices, del triángulo, de manera cíclica en sentido anti-horario, como tenemos en la imagen
\(\triangle ABC\) significa: el triángulo cuyos vértices son A, B y C. En general para cualquier figura geométrica se puede utilizar esta notación, por ejemplo el cuadrado cuyos vértices son A, B, C y D, se puede denotar por:
\(\square ABCD\).
Pero en general, cuando se habla de polígonos de más lados sólo se ponen en orden los vértices. Así, por ejemplo, el pentágono cuyos vértices son A, B, C, D y E, se suele denotar simplemente por:
\(ABCDE\)
y de manera análoga un hexágono, heptágono, octágono, etc. Es importante colocar los vértices en orden para identificar el polígono, sus lados, ángulos, etc.
Congruencia en triángulos
De manera intuitiva no es complicado comprender que dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, aunque esta manera de mencionarlo no es precisa, debemos dar orden a esta idea.
Definición. Dados \(\triangle ABC\) y \(\triangle DEF\), decimos que \(\triangle ABC\) y \(\triangle DEF\) son congruentes si sus lados y sus ángulos correspondientes son congruentes.
Luego si \(\triangle ABC\) y \(\triangle DEF\) son congruentes lo denotaremos por:
\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)
Cabe hacer hincapié en la idea de que dos segmentos y dos ángulos son iguales si y sólo si son congruentes, así que podemos decir, de manera más coloquial, que dos triángulos son iguales si tienen todos sus lados y todos sus ángulos correspondientes iguales.
En los siguientes apartados veremos ideas importantes sobre congruencia de triángulos.
Criterios de congruencia
Dado que nuestro enfoque es más intuitivo, educativo y constructivo podemos aceptar la superposición como idea primaria.
Este principio simplemente nos dice que:
Dos figuras geométricas son congruentes si se pueden superponer
Luego podemos introducir los criterios, básicos, de congruencia.
Criterio lado, lado, lado (LLL). Dos triángulos dados serán congruentes si sus tres lados correspondientes son congruentes.
Criterio lado, ángulo, lado (LAL). Dos triángulos serán congruentes si tiene dos lados correspondientes congruentes y los ángulos que se encuentran entre éstos lados son congruentes.
Criterio ángulo, lado, ángulo (ALA). Dos triángulos serán congruentes si tienen un lado correspondiente congruente y los ángulos adyacentes, a éstos lados, congruentes.
Éstos criterios serán de particular importancia en lo que sigue. Hablaremos de construcciones geométricas y podremos ver como utilizar lo que hasta ahora hemos visto.
Tarea voluntaria
1. Determina si un triángulo rectángulo puede ser escaleno, isósceles, equilátero o todos simultáneamente y traza una figura para sustentar tu argumento.
2. Determina si un triángulo obtusángulo puede ser escaleno, isósceles, equilátero o todos simultáneamente y traza una figura para sustentar tu argumento.
3. Determina si un triángulo acutángulo puede ser escaleno, isósceles, equilátero o todos simultáneamente y traza una figura para sustentar tu argumento.
4. ¿Se pueden demostrar los criterios de congruencia partiendo únicamente de los 5 axiomas dados?
5. ¿Qué es el principio de superposición?
Enlaces
No hay comentarios:
Publicar un comentario