7.4. Criterio LLL

 Criterio de semejanza LLL. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales, en la misma proporción, a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos considerados son proporcionales.

Demostración:

Consideremos dos triángulos cualesquiera que cumplan con las hipótesis mencionadas en el criterio, es decir dos triángulos ABC y DEF tales que:

\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\). 

De manera similar podemos trazar un punto E' sobre \(\overline{AB}\), tal que DE=AE', mediante una circunferencia de centro en A y radio DE, de manera similar podemos trazar un punto F' sobre \(\overline{AC}\) tal que AF'=DF. Entonces de esto último y las hipótesis tenemos que:

\(\frac{AB}{AE'}=\frac{AC}{AF'}\),

teniendo en cuenta esto y el hecho de que los triángulos ABC y AE'F' comparten el ángulo en A podemos concluir que:

\(\triangle ABC\sim\triangle AE'F'\) (utilizando el Criterio LAL de semejanza),

de esta semejanza obtenemos, también, que: \(\frac{BC}{E'F'}=\frac{AB}{AE'}\Leftrightarrow\frac{E'F'}{BC}=\frac{AE'}{AB}\), luego

E'F'=BC\(\cdot\frac{AE'}{AB}\), pero si tenemos en cuenta que AE'=DE, entonces:

E'F'=BC\(\cdot\frac{DE}{AB}\),

pero debido a que: \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\), en particular se tiene que:

\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\Leftrightarrow EF=BC\cdot\frac{DE}{AB}\), entonces:

E'F'=EF, con esto tenemos que los triángulos DEF y AE'F' son congruentes (aplicando el criterio de congruencia LLL), pues tienen tres lados correspondientes congruentes. Como los triángulos ABC y AE'F' son semejantes y \(\triangle DEF\cong\triangle AE'F'\) entonces podemos concluir que:

\(\triangle DEF\sim\triangle ABC\).

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra o da contraejemplo. Considera dos triángulos tales que las longitudes de dos lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados correspondientes del otro triángulo y el ángulo opuesto a uno de los lados del triángulo es congruente con el ángulo correspondiente del otro, entonces los triángulos son semejantes.

2. Demuestra que si consideramos \(\triangle ABC\), D el punto medio de \(\overline{AB}\), E el punto medio de \(\overline{AC}\) tal que \(AE > EC\), \(\overleftrightarrow{DE}\) y \(\overleftrightarrow{BC}\) se intersecan en F, entonces \(FB\cdot CE=FC\cdot EA\).

Cuestionario de evaluación

Cuestionario 7

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