5.2. Relación entre área del triángulo y proporciones

 Ya vimos como calcular el área de un triángulo, en lo que sigue veremos dos resultados útiles que relacionan el área del triángulo con ciertas proporciones entre sus áreas y aunque son resultados sencillos no podemos dejarlos pasar de lado, serán de utilidad.

Proposición (Bases). Si dos triángulos tienen una altura que mide lo mismo, desde ciertas bases consideradas, entonces la razón entre sus áreas es igual a la razón de las medidas de las bases donde se levanta la altura común.

Demostración:

Consideremos los triángulos ABC y DEF de tal manera que \(h_{a}=h_{d}\), por una parte tenemos que (ABC)=\(\frac{BC\cdot h_{a}}{2}\) y (DEF)=\(\frac{EF\cdot h_{d}}{2}\), 

entonces 

\(\frac{(ABC)}{(DEF)}=\frac{\frac{BC\cdot h_{a}}{2}}{\frac{EF\cdot h_{d}}{2}}\cdot\frac{BC}{EF}\),

por lo tanto:

\(\frac{(ABC)}{(DEF)}=\frac{BC}{EF}\)

\(\blacksquare\)

El concepto del área del triángulo que hemos dado también nos sirve para demostrar el siguiente resultado.

Proposición (Alturas). Si dos triángulos tienen una base correspondiente que mide lo mismo entonces la razón entre sus áreas es igual a la razón entre la medida de sus alturas que se levantan sobre tal base.

Demostración:

Consideremos los triángulos ABC y DEF tales que BC=EF. 

Por una parte tenemos que: (ABC)=\(\frac{BC\cdot h_{a}}{2}\) y (DEF)=\(\frac{EF\cdot h_{d}}{2}\), entonces:

\(\frac{(ABC)}{(DEF)}\)=\(\frac{\frac{BC\cdot h_{a}}{2}}{\frac{EF\cdot h_d}{2}}\)=\(\frac{h_{a}}{h_{d}}\),

por lo tanto:

\(\frac{(ABC)}{(DEF)}=\frac{h_{a}}{h_{d}}\).

\(\blacksquare\)

Tarea voluntaria

1. Demuestra que el área de un trapecio es el semiproducto de lo que mide su altura y la suma de las medidas de sus bases.

2. Demuestra que si las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares, entonces el área del cuadrilátero es igual al semiproducto de las medidas de las diagonales.

3. Las diagonales de un rombo tienen longitudes de 15 y 20 respectivamente. 

a) Determina su área.

b) Si una altura del rombo mide 12. ¿Cuál es la longitud de su lado?

Enlaces

Entrada anterior \(\Rightarrow\) 5.1. Área del triángulo y proporciones

Siguiente entrada \(\Rightarrow\) 5.3. Propiedades del área